$\frac{dx}{dy}$는 $\frac{dy}{dx}$의 역수인가?

 

prerequites

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  • 미분의 의미
  • 역함수가 존재할 조건: 일대일 대응

도입

미분 계수는 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[\frac{dy}{dx}\]

여기서 $dx$는 $x$가 매우 적게 변한 양을 의미한다고 배웠을 것이다.

또, $dy$는 $y$가 매우 적게 변한 양을 의미한다고도 알고 있다.

즉 원래 미분의 의미는 아래와 같은 식으로부터 도출되는 것이다.

\[\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{dy}{dx}\]

따라서 $dx$와 $dy$는 생각하기도 어려울만큼 작은 숫자라고 생각할 수 있다.

그렇다면 $dx/dy$는 $dy/dx$의 역수로 쓸 수도 있지 않을까?

즉, 아래의 관계는 분명히 성립할 것이다.

\[\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}\]

역수의 관계가 성립하는 경우

역수의 관계가 성립하는 경우는 역함수가 존재할 때이다.