라플라스 방정식의 의미


그림1. 위 짤방의 24, 25, 26번 방정식이 각각 라플라스, 파동, 열방정식이다.

라플라스 방정식은 수식으로 쓰면 다음과 같다.

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0\]

이 수식을 보면 열방정식, 파동방정식과 주요하게 차이는 부분을 확인할 수 있다.

바로 시간 term이 없다는 것이다.

라플라스 방정식은 특정 상태의 공간에 대한 표현이며, 구체적으로는 어떤 물리 현상의 steady state situation을 표현하는 방정식이다.

여기서 ‘어떤 물리 현상’이란 아래와 같은 것들을 포함한다.

  • steady state temperature
  • steady state stress
  • steady state potential distribution
  • steady state flow

이번 article에서는 이 중 steady state temperature의 관점에서 Laplace 방정식의 의미에 대해 알아보고자 한다.

라플라스 방정식의 intuition


그림2. 라플라스 방정식이 적용되는 물리현상: steady state temperature

라플라스 방정식이 적용될 수 있는 물리현상 중 하나로 steady staet temperature 문제를 생각해보자. 이 문제는 그림 2에서 보여주고 있는 내용과 같이 특정 공간에서 boundary의 온도에 대한 condition을 정한 다음, 오-랜 시간이 지났을 때 그 공간 내부의 온도 분포가 어떻게 되는지를 알아보는 문제라고 할 수 있다.

라플라스 방정식은 이 문제에 대해 다음과 같은 관점에서 문제를 바라본다.


그림3. 라플라스 방정식이 해당 문제를 바라보는 관점

즉, boundary의 온도가 모두 결정되어 있을 때, boundary에 있지 않는 분자(?)는 어떤 온도를 갖게 될 것인가? 하는 문제인 것이다.

라플라스 방정식에 따르면, 이 5번 분자는 상하좌우 주변에 있는 분자들의 온도값의 평균을 취하게 된다.


그림4. 라플라스 방정식이 해당 문제를 바라보는 관점

그렇다면, 라플라스 방정식은 공간에 대한 2차 미분계수로 구성되어 있는데, 2차 미분 계수와 주변 값과의 평균이 어떤 관계를 갖고 있는 것인지 알아보도록 하자.

2차 미분 계수의 또 다른 의미: 주변 평균값

열방정식 / 파동 방정식 편에서 2차 미분 계수는 ‘볼록’하거나 ‘오목’한 정도를 나타낸다고 했다. 하지만 조금 더 포괄적으로는 ‘주변 값과의 관계’라는 의미로 생각하는게 2차 미분 계수의 의미를 이해하는데 더 도움이 될 수 있을 것 같다.

우리는 테일러 급수를 이용해서 2차 미분 계수의 의미가 ‘주변 값의 평균값’이라는 의미도 갖는 다는 것을 확인해보고자 한다.

테일러급수

※ 급하신 분들은 식 (13), 식 (14)만 확인하고 넘어가셔도 괜찮습니다 ^^~

미적분학(calculus)에서 테일러 급수(Taylor series)는 도함수들의 한 점에서의 값으로 계산된 항의 무한합으로 해석함수를 나타내는 방법이다.


그림5. 테일러 급수를 이용해 x = 0 에서 y=e^x를 근사화하는 과정.
출처: Taylor Series, Wikipedia

그림 5는 $x = 0$ 인 지점에서 $y = e^x$를 근사화하는 과정을 나타낸 것이다.

$y=e^x$는 테일러 급수를 이용하면 다음과 같이 근사할 수 있다.

\[f(x) = e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}x^n\]

핵심적인 것은 원래의 함수는 초월함수이지만, 이것을 다항함수로 표현할 수 있다는 것이다.

테일러 급수의 정의는 아래와 같다.

DEFINITION 1. 테일러 급수
매끄러운 함수 $f: \Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}$ 및 실수 $a \in \Bbb{R}$에 대해 $f$의 테일러 급수는 다음과 같다.

$$T_f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \notag$$
$$=f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + \frac{1}{6}f'''(a)(x-a)^3 +\cdots $$

DEFINITION 1에서 확인한 테일러 급수의 정의를 이용해서 $f(x)$를 $x_0$이라는 점에서 approximate 해본다고 생각해보자.

\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+\frac{1}{6}f'''(x_0)(x-x_0)^3+\cdots\]

여기서 3차 이상의 다항식을 포함하는 항을 통틀어 $R_3(x)$라고 이름 붙이자. 즉,

\[식(4) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 + R_3(x)\]

그렇다면, 충분히 작은 양의 실수 $\Delta x$에 대해서,

$f(x)$의 $x_0+\Delta x$라는 점에서의 함수 값은 $f(x_0+\Delta x)$이다.

이는 식 (5)에서 $x$에 $x_0+\Delta x$를 대입함으로써 얻을 수 있다.

\[f(x_0+\Delta x) = f(x_0) + f'(x_0)(x_0+\Delta x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x_0+\Delta x - x_0)^2 +R_3(x_0+\Delta x)\]

마찬가지 방식으로 식 (5)에 $x$ 대신에 $x-\Delta x$를 대입하면,

\[f(x_0-\Delta x) = f(x_0) + f'(x_0)(x_0-\Delta x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x_0-\Delta x - x_0)^2 +R_3(x_0-\Delta x)\]

가 된다.

여기서, 식 (6)과 식 (7)을 더하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

\[f(x_0+\Delta x) = f(x_0) + f'(x_0)(x_0+\Delta x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x_0+\Delta x - x_0)^2 +R_3(x_0+\Delta x) \notag\] \[+\notag\] \[f(x_0-\Delta x) = f(x_0) + f'(x_0)(x_0-\Delta x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x_0-\Delta x - x_0)^2 +R_3(x_0-\Delta x)\notag\] \[\Rightarrow f(x_0+\Delta x) + f(x_0-\Delta x) = 2f(x_0) + f''(x_0)(\Delta x)^2 + R_3(x_0+\Delta x) + R_3(x_0-\Delta x)\]

우리는 $\Delta x$가 충분히 작다고 가정하기 때문에 식 (8)에서 $R_3(x_0+\Delta x) + R_3(x_0-\Delta x)$은 error term이라고 생각하고 error를 무시해보자.

그러면 식 (8)은 다음과 같이 생각할 수 있다.

\[f(x_0+\Delta x)+ f(x_0-\Delta) \approx 2f(x_0) + f''(x_0)(\Delta x)^2\]

식 (9)에서 우변의 $2f(x_0)$을 좌변으로 옮겨주면,

\[f(x_0 + \Delta x) - 2f(x_0) + f(x_0-\Delta x) \approx f''(x_0)(\Delta x)^2\]

즉,

\[식(10) \Rightarrow \frac{f(x_0 + \Delta x) - 2f(x_0) + f(x_0-\Delta x)}{(\Delta x)^2} \approx f''(x_0)\]

식 (11)에 대해서, $x_0$ 대신 임의의 $x$에 대하여 다음이 성립합을 확인할 수 있다.

\[f''(x) = \frac{(x + \Delta x) - 2f(x) + f(x-\Delta x)}{(\Delta x)^2}\]

만약 $f(x)$가 아니라 다변수 함수 $u(x,y)$였다고 하면 다음도 성립하게 된다.

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\approx \frac{u(x+\Delta x, y)-2u(x,y)+u(x-\Delta x, y)}{(\Delta x)^2}\] \[\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\approx \frac{u(x, y +\Delta y)-2u(x,y)+u(x, y-\Delta y)}{(\Delta y)^2}\]

다시 라플라스 방정식으로!

다시, 우리가 의미를 파악하고자 하는 Laplace 방정식은 다음과 같다.

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\]

여기에 앞서 파악한 식 (13), 식(14)의 2차 미분 계수의 approximation을 대입해보자.

\[\frac{u(x+\Delta x, y)-2u(x,y)+u(x-\Delta x, y)}{(\Delta x)^2} + \frac{u(x, y +\Delta y)-2u(x,y)+u(x, y-\Delta y)}{(\Delta y)^2} = 0\]

계산의 편의를 위해 $\Delta x = \Delta y$라고 두자. 그러면 위의 식 (16)은 다음과 같아진다.

\[u(x+\Delta x,y) - 2u(x,y) + u(x-\Delta x, y) + u(x, y+\Delta y) - 2u(x,y) + u(x, y-\Delta y) = 0\]

식 (17)을 정리하면,

\[4u(x,y) = u(x+\Delta x, y) + u(x-\Delta x, y) + u(x, y+\Delta y) + u(x,y-\Delta y)\]

즉,

\[u(x,y) = \frac{1}{4}\left\{ u(x+\Delta x, y) + u(x-\Delta x, y) + u(x, y+\Delta y) + u(x, y-\Delta y) \right\}\]

식 (19)가 말하는 것은 무엇인가? 즉, $u(x,y)$라는 포인트의 온도는 주변 4점의 온도의 평균이라는 것이다. (여기서 주변 4점과는 $\Delta x = \Delta y$라는 간격을 두었음.)

MATLAB 시뮬레이션

그림 2에서 보였던 예제를 MATLAB에서 시뮬레이션을 돌리면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

여기서 주의할 점은 라플라스 방정식은 initial condition에 해당되는 것은 없다는 것인데, 해당 MATLAB 시뮬레이션에서는 iterative한 방법으로 solution을 구하다보니 시간에 따른 변화가 있는 것 처럼 보이지만, 실제로 라플라스 방정식이 말해주는 solution은 해당 시뮬레이션의 마지막 장면에서 보여주는 것이다.


그림6. 그림 2의 예제에 대한 라플라스 방정식의 solution