발산정리(2D)

발산 정리의 수식

THEOREM 1. 발산 정리 (2D)
벡터장이 $F(x,y) = P(x,y)\hat{i} + Q(x,y)\hat{j}$로 주어져있고, 선적분의 방향은 면적 A의 boundary에 대해 반 시계 방향이라고 할 때 아래의 식이 성립한다.
$$\iint_A\left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy = \oint_{\partial A}\left(\vec{F}\cdot\hat{n}ds\right)$$

발산 정리는 닫힌 경로에 대해서 해당 경로를 따라 빠져나가거나 들어간 총 유량은 그 경로로 구성된 면적의 전체 유입/유출량과 같다는 의미를 갖고 있다.

prerequisites

발산 정리를 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 이해하는 것이 좋다.

발산 정리의 증명

※ 해당 증명은 Mary L. Boas의 책 Mathematical Methods in the Physical Sciences에서부터 가져왔습니다.

발산 정리를 증명하는 과정은 그린 정리에서부터 출발한다. 그린 정리는 선적분과 중적분의 관계에 대해 기술하고 있으며, 수식은 다음과 같다.

\[\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_A\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy\]

여기서 벡터장 $\vec{F}(x,y)$는 다음과 같이 주어진다고 하자.

\[\vec{F}(x,y) = P(x,y)\hat{i} + Q(x,y)\hat{j}\]

여기서 $P(x,y)$와 $Q(x,y)$는 임의의 함수이므로 다음과 같이 조정하여도 무방하다.

\[P(x,y) \Rightarrow -V_y\] \[Q(x,y) \Rightarrow + V_x\]

그렇게 하면 식(2)의 좌변은 다음과 같이 바뀐다.

\[\text{식(2)의 좌변} \Rightarrow \oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r} = \oint_C\left(-V_ydx+V_xdy\right)=\oint_C\vec{V}\cdot \hat{n} ds\]

(만약 위 식에서 $\oint \vec{V}\cdot \hat{n} ds$의 의미가 이해되지 않는다면 벡터장의 flux(2D)편을 복습하고 오는 것도 좋을 것 같다.)

여기서 $\vec{V} = V_x\hat{i} + V_y\hat{j}$이다.

그리고 식 (2)의 우변은 다음과 같이 바뀐다.

\[\text{식(2)의 우변} \Rightarrow \iint_A\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy = \iint_A\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}\]

사실 식 (4), (5)의 아이디어는 접선 벡터를 법선 벡터로 바꾸는 -90도 회전을 의미하는 과정에서부터 얻은 것이라고 할 수 있다.

잠깐 복습하자면,

\[\begin{bmatrix} \cos(-90°) & -\sin(-90°) \\ \sin(-90°) & \cos(-90°) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \\ -x \\ \end{bmatrix}\]

이므로 임의의 벡터를 -90도 회전을 할 때에는 $x$, $y$를 각각 $y$, $-x$로 바꿔준다는 것이 아이디어의 핵심이다. 해당 내용에 대한 자세한 논의는 벡터장의 flux(2D)의 법선 벡터 계산 부분을 다시 한번 보고 오는 것도 좋을 것 같다.

이제 식 (6)과 식 (7)은 같은 것이므로 수식으로 연결해주면 발산정리가 증명된다.

\[\Rightarrow \oint_C\vec{V}\cdot \hat{n} ds=\iint_A\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}\]

발산정리(2D)의 의미

아래의 그림 1과 같이 임의의 벡터장 $\vec{F}$와 닫힌 경로 $C$를 생각해보자.


그림 1. 발산 정리의 의미를 설명하기 위해 생각한 닫힌 경로 C와 내부의 면적 R

발산정리의 의미에 대한 설명은 그린 정리편에서와 마찬가지로 flux의 결과값이 면적분과 관련이 있다는 방식으로 설명하고자 한다.

flux를 계산하는 과정도 기본적으로는 벡터장의 선적분에 기반을 두고 있기 때문에 벡터의 내적이 가장 중요한 개념이다.

우선 그림 1에서 주어진 닫힌 경로를 따라 flux를 계산한 결과는 다음과 같다.

\[\oint_C\vec{F}\cdot \hat{n}ds\]

이제 닫힌 경로 $C$를 아래 그림 2와 같이 반으로 쪼개보도록 하자.


그림 2. 닫힌 경로 C를 두 개로 나눠 생각해보면 두 경로에 대해 flux를 계산할 때의 법선 벡터는 빨간색, 파란색 화살표와 같이 표시할 수 있다.

이 때, 그림 2의 나눠진 두 경로의 가운데 부분을 보면 이 경로는 $C_1$ 경로에서와 $C_2$ 경로에서 동시에 포함되는 경로임을 알 수 있다.

이 “동시에 포함되는 경로”는 $C_1$에 대한 flux를 계산할 때와 $C_2$에 대한 flux를 계산할 때 지나가는 길이는 동일하지만 법선벡터는 반대이므로 해당 경로에서는 $C_1$에 대한 flux를 계산할 때의 결과값과 $C_2$에 대한 flux를 계산할 때의 결과 값이 서로 크기는 같으나 부호는 반대이므로 더하면 0이 된다.

그러므로, $C_1$에 대해 계산해준 flux 값과 $C_2$에 대해 계산해준 flux 값을 더하면 원래의 닫힌 경로 $C$에 대해 계산해준 flux 값과 같아진다는 것을 알 수 있다. 수식으로 적으면 다음과 같다.

\[\oint_C\vec{F}\cdot\hat{n}ds = \oint_{C_1}\vec{F}\cdot\hat{n}ds+\oint_{C_2}\vec{F}\cdot\hat{n}ds\]

이번엔 그림 2에서 쪼갰던 경로를 한번 더 쪼개서 아래의 그림 3과 같이 원래의 경로 $C$를 총 네 개의 닫힌 경로로 쪼개보자.


그림 3. 닫힌 경로 C를 네 개로 나눠 생각해보면 두 경로에 대해 flux를 계산할 때의 법선 벡터는 빨간색, 파란색, 초록색, 보라색 화살표와 같이 표시할 수 있다.

그림 2의 flux 값들을 계산해줬을 때와 마찬가지 논리로 원래의 닫힌 경로 $C$ 내부에 있는 경로들의 flux 값은 더해줬을 때 모두 0이 되므로 모든 경로 $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$에 대해서 구해준 flux 값들의 합은 원래 경로 $C$에 대한 flux 값과 같다. 수식으로 적으면 다음과 같다.

\[\oint_C\vec{F}\cdot\hat{n}ds = \sum_{k=1}^4\oint_{C_k}\vec{F}\cdot\hat{n}ds\]

이러한 방식을 이용하면 닫힌 경로 $C$ 내부를 임의의 양수 $N$개 만큼으로 쪼갤 수도 있을 것이다.


그림 4. 닫힌 경로 C를 임의의 양수 N개 만큼 쪼개서 보더라도 쪼개진 경로 내부의 flux 값들을 모두 더하면 원래의 경로 C에 대한 flux 값과 같다.

지금까지의 논의와 마찬가지로 닫힌 경로 내부의 $N$개의 닫힌 경로들에 대해 flux 값을 계산해주고 합하면 원래의 경로 $C$에 대한 flux 값과 같아지게 된다.

\[\oint_C\vec{F}\cdot\hat{n}ds = \sum_{k=1}^N\oint_{C_i}\vec{F}\cdot\hat{n}ds\]

k번째 닫힌 경로의 flux 값에 대한 계산

아래의 그림과 같이 $k$번째 닫힌 경로 $C_k$에 대해 생각해보자.


그림 5. k번째 닫힌경로 C_k와 경로 위의 점에서의 벡터장.

이 경로의 밑변과 높이가 각각 $2\Delta x$, $2\Delta y$라고 하고, 주어진 벡터장 $\vec{F} = P(x,y)\hat{i}+Q(x,y)\hat{j}$에 대해, 경로 위의 네 점에서의 벡터값을 각각 $v_1$부터 $v_4$라고 하자.

\[\vec{v_1} = P(x+\Delta x, y)\hat{i} + Q(x+\Delta x, y)\hat{j}\] \[\vec{v_2} = P(x, y + \Delta y)\hat{i} + Q(x, y + \Delta y)\hat{j}\] \[\vec{v_3} = P(x-\Delta x, y)\hat{i} + Q(x-\Delta x, y)\hat{j}\] \[\vec{v_4} = P(x, y - \Delta y)\hat{i} + Q(x, y - \Delta y)\hat{j}\]

그리고, 여기서의 하나의 가정은 $\Delta x$, $\Delta y$는 충분히 작기 때문에 닫힌 경로 $C_k$에서 네 변 각각에서 벡터장은 변하지 않는다고 가정하도록 하자.

우리가 구하고자 하는 것은 결국 $\oint_{C_k}\vec{F}\cdot\hat{n}ds$이므로 경로 $C_k$의 네 선분에 대해 적분 값을 각각 계산해 더해주도록 하자.

벡터 $\vec{v}_1$이 지나가는 선분으로부터 시계반대방향의 순서로 계산해주자. 각 선분에서 법선벡터는 크기가 1이고 방향은 $x$ 혹은 $y$ 방향이므로 단위벡터를 이용해 표현할 수 있다.

\[\text{① }\int_C\vec{v}_1\cdot\hat{n}ds = \vec{v}_1\int_Cds=\vec{v}_1\cdot(\hat{i})2\Delta y\] \[\text{② }\int_C\vec{v}_2\cdot\hat{n}ds = \vec{v}_2\int_Cds=\vec{v}_2\cdot(\hat{j})2\Delta x\] \[\text{③ }\int_C\vec{v}_3\cdot\hat{n}ds = \vec{v}_3\int_Cds=\vec{v}_3\cdot(-\hat{i})2\Delta y\] \[\text{④ }\int_C\vec{v}_4\cdot\hat{n}ds = \vec{v}_4\int_Cds=\vec{v}_4\cdot(-\hat{j})2\Delta x\] \[\text{① + ② + ③ + ④}\Rightarrow \vec{v}_1\cdot(\hat{i})2\Delta y + \vec{v}_2\cdot(\hat{j})2\Delta x + \vec{v}_3\cdot(-\hat{i})2\Delta y + \vec{v}_4\cdot(-\hat{j})2\Delta x\]

여기서 $\vec{v}_1\cdot(\hat{i})$의 의미는 $\vec{v}_1$ 중 $x$ 컴포넌트만 남게 하겠다는 의미와 같다. 따라서, 위 식을 조금 더 풀어서 써보면 다음과 같다.

\[\Rightarrow P(x+\Delta x, y)2\Delta y + Q(x, y+\Delta y)2\Delta x - P(x-\Delta x, y)2\Delta y - Q(x, y-\Delta y)2\Delta x\]

$4\Delta x \Delta y$로 묶어주면,

\[\Rightarrow 4\Delta x\Delta y\left\lbrace \frac{P(x+\Delta x, y) - P(x-\Delta x, y)}{2\Delta x} + \frac{Q(x, y + \Delta y) - Q(x, y-\Delta y)}{2\Delta y} \right\rbrace\]

여기서 $4\Delta x \Delta y$는 닫힌 경로 $C_k$의 면적 $|R_k|$가 되고, 중괄호 안에 있는 값은 벡터장의 발산편에서 본 발산 값과 비슷한데 여기서는 ‘유사 발산’이라고 이름 붙이도록 하자. 기호는 pseudo divergence를 생각해 $pdiv(\cdot)$이라고 하도록 하자.

\[\oint_{C_k}\vec{F}\cdot\hat{n}ds\Rightarrow |R_k|pdiv(\vec{F})\]

지금까지 얻은 내용을 종합해보자.

따라서, 식 (13)은 결국 다음과 같이 쓸 수 있게 된다.

\[\sum_{k=1}^N\oint_{C_k}\vec{F}\cdot\hat{n}ds = \sum_{k=1}^N|R_k|pdiv(\vec{F})\]

여기서 원래의 닫힌경로 $C$를 쪼개준 개수 $N$을 무수하게 많이 늘린다면 결국 $\Delta x$와 $\Delta y$는 매우 작아지게 되고 $|R_k|$는 미소 면적 $dA$로 생각할 수 있게 되어 유사 발산(pdiv)은 한 점에서의 벡터장의 발산과 같은 의미를 갖게 된다.

또, 원래의 닫힌 경로 $C$에 대한 flux 값은 무한히 쪼개 발생한 경로 $C_k$들의 flux의 합과 같다. 그러므로 식 (22)에 대해 $N$을 무한히 크게하면,

\[\oint_C\vec{F}\cdot\hat{n}ds = \lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^N\oint_{C_k}\vec{F}\cdot\hat{n}ds \notag\] \[= \lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^N|R_k|pdiv(\vec{F})=\iint_A div(\vec{F})dA =\iint_A\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy\]

즉, 발산정리가 말하고자 하는 것은 닫힌 경로에 대해 최외각 경로에 대한 flux 값이나 그 내부를 아주 잘게 쪼개 얻은 작은 면적들의 divergence의 합이 같다는 의미를 갖는다.