발산정리(3D)

※ 본 포스팅에서 발산정리라고 부르는 개념은 특별한 언급이 없다면 3차원 발산 정리(가우스 정리)를 의미합니다. 이는 2차원 발산 정리와 구별하기 위함입니다.

발산 정리의 수식

\[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} = \iiint_V(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})dV\]

발산 정리의 의미

prerequisites

발산 정리의 의미에 대해 이해하시기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것을 추천드립니다.

발산 정리의 의미 소개

아래와 같이 어떤 벡터장 위에 닫힌 곡면 S과 그로 인해 만들어지는 정육면체 모양의 부피체가 있다고 하자.


그림 1. 3차원 공간 위에 닫힌 곡면 S와 그로 인해 만들어지는 정육면체 모양의 부피체

이 때 우리는 정육면체의 6개의 면에 대한 면벡터를 생각할 수 있다.


그림 2. 정육면체가 갖는 6가지 면

발산 정리에서 우리가 알고자 하는 것은 이 6개 면에 대한 면적분이 결국 이 부피체에 의한 삼중적분의 값과 같다는 것이다.

우리는 그린정리스토크스 정리의 의미를 알아볼 때 처럼 부피체의 부피를 쪼개가면서 발산정리의 의미에 대해 생각해보자.

우선 아래와 같이 부피체를 y 축에 대해 2개로 쪼개보자.


그림 3. 정육면체 형태의 부피체를 y축에 대해 두 개로 쪼갠 경우

여기서 우리는 총 12개의 면에 대해 생각할 수 있지만, 특별히 두 개로 쪼개진 부분의 면을 생각해서 조감해보면 다음과 같다.


그림 4. 두 개로 쪼개진 부피체를 z-축에서 조감한 경우의 각 면벡터의 형상

이 때 쪼개진 두 부피체를 각각 $V_1$, $V_2$라고 하고 각 부피체에 포함되는 6개의 면들을 통틀어 $S_1$과 $S_2$라고 하자.

이 때, 그림 4에서 볼 수 있듯이 쪼개진 면에서는 양쪽으로 나오는 두 면벡터가 면적은 같으나 그 방향이 반대이므로 이 면에서 구하게 되는 두 면적분 값을 합쳐주면 0이 된다.

따라서, 전체 2개의 부피체에 대한 면적분 값을 모두 합치면 원래의 (쪼개기 전의) 부피체에 대한 면적분의 값과 같다.

즉, 수식으로 작성하면 다음과 같다.

\[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} ={\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_{S_1}\vec{F}\cdot d\vec{S_1} + {\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_{S_2}\vec{F}\cdot d\vec{S_2}\]

이번엔 부피체를 $x$, $y$ 축에 대해 각각 두 개로 쪼개 총 네 개의 부피체를 만들어보자.


그림 5. 정육면체 형태의 부피체를 x, y축에 대해 각각 두 개로 쪼갠 경우

이 때, 쪼개진 부피체를 각각 $V_1$에서 $V_4$라고 하고, 각 부피체에 포함되는 6개의 면들을 통틀어 $S_1$에서 $S_4$로 부르도록 하자.

그러면 아래의 그림 6에서 볼 수 있는 것 처럼 부피체를 쪼개게 된 내부의 면들에 대해서는 양쪽으로 나오는 두 면벡터가 면적은 같으나 그 방향이 반대이기 때문에, 이 면들에서 두 면적분 값을 구해서 더해주면 0이 된다는 것을 알 수 있다.


그림 6. 네 개로 쪼개진 부피체를 z-축에서 조감한 경우의 각 면벡터의 형상

따라서, 전체 네 개의 부피체에 대한 면적분 값을 모두 합치면 원래의 (쪼개기 전의) 부피체에 대한 면적분의 값과 같다.

즉, 수식으로 작성하면 다음과 같다.

\[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} = \sum_{i=1}^{4}{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_{S_i}\vec{F}\cdot d\vec{S_i}\]

위의 논의를 이어간다면 이러한 방식으로 임의의 개수만큼 부피체를 조깨더라도 쪼개진 부피체에 대한 면적분 값을 모두 합치면 원래의 부피체에 대한 면적분 값과 같을 것이다. 즉, 임의의 양수 $N$에 대하여 다음이 성립한다.

\[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} = \sum_{i=1}^{N}{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_{S_i}\vec{F}\cdot d\vec{S_i}\]


그림 7. 정육면체 형태의 부피체를 x, y축에 대해 임의의 양수 N개로 쪼갠 경우
(그림에선 1000개로 쪼개었음)

또, 귀납적으로 생각하면 무수하게 많이 부피체를 쪼개더라도 위의 논의는 계속하여 성립하게 되어 무수하게 많이 쪼개진 부피체의 면적분 값을 다 더하면 원래의 부피체의 면적분값과 같다고 생각할 수 있다.

\[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} = \lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{N}{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_{S_i}\vec{F}\cdot d\vec{S_i}\]

그렇다면 하나의 작은 부피에서의 면적분 값이 의미하는 것은 무엇일까?

벡터장의 면적분은 해당 미소면적을 지나는 벡터장의 벡터와 면벡터가 얼마나 닮았는지를 내적을 통해 계산해주고 전체 곡면에 대해 더해준 것이라고 언급하였다.

그리고, 면적분의 물리적 의미는 곡면 S를 통해 빠져나간 유량을 의미한다고도 언급한 바 있다.

또한, 벡터장의 발산에서 배운 내용을 생각해본다면, 발산(divergence)의 의미는 “단위 부피당 빠져나간 유량”이었다.

즉, 이 부피체가 매우 작다고 하면 미소 부피의 발산값에 미소 부피의 부피를 곱해주면 이 미소 부피를 통해 빠져나간 유량을 의미한다고 할 수 있다.

수식으로 적어보면 다음과 같을 것이다. 임의의 $i$ 번째 매우 작은 부피체에 대하여 이 부피체의 부피가 $\Delta V$라고 한다면,

\[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_{S_i}\vec{F}\cdot d\vec{S_i} = (\vec{\nabla}\cdot\vec{F})\Delta V\]

이제 매우 작고 무수하게 쪼개준 전체 부피체에 대해 생각해준다면 식(5)는 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다.

\[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} = \lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{N}{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_{S_i}\vec{F}\cdot d\vec{S_i}=\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{N}\left\lbrace(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})\Delta V\right\rbrace\]

결국 주어진 최외각의 부피체에 대해 $(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})\Delta V$을 무수하게 많이 더해준다는 것은 이 부피체 내의 모든 $x$, $y$, $z$ 에 대해 적분해준다는 뜻과 같다.

또, $N$이 무한히 커지면 $\Delta V$는 $dV$로 쓸 수 있다. 따라서 아래와 같이 발산 정리의 식을 생각할 수 있게 된다.

\[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} = \iiint_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{F})dV\]

발산 정리의 증명

prerequisites

발산 정리의 증명 과정을 잘 이해하기 위해선 다음의 내용에 대해 알고오시는 것이 좋습니다.

  • 미적분학의 기본정리

함수 $f$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이며, 함수 $F$가 $f$의 임의의 부정적분이면 다음이 성립한다.

\[\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)\]

증명을 위한 곡면, 정의역, 벡터장 소개

이번 증명 과정에서는 정의역이 $x$, $y$ 평면이고 윗면과 아랫면의 높이가 $z = g_1(x,y)$, $z=g_2(x,y)$와 같이 정해지는 원통 모양의 닫힌 곡면을 이용해 발산 정리를 증명하고자 한다. 특히, $g_1(x,y)$와 $g_2(x,y)$로 결정되는 이 닫힌 곡면(원통)의 윗면과 아랫면의 법선 벡터는 $z$축의 단위벡터와 평행하다1.


그림 8. 정의역이 x, y 평면이고 윗면, 아랫면의 높이가 z = g(x,y)로 정해지는 원통 모양의 닫힌 곡면

이후 정의역이 $y$, $z$인 경우2와 $x$, $z$인 경우3에 대해서는 지금의 정의역이 $x$, $y$인 경우에 대한 증명 방식과 유사한 방식으로 증명할 수 있다는 방식으로 일반적인 3차원 공간에 대해 발산 정리를 증명할 수 있다.

또, 이번 증명에서는 벡터장이 $\hat k$ 컴포넌트만 주어져 있다고 가정하자. 즉, 3차원 공간 상에 주어진 벡터 필드 $\vec{F}$를 $\lt 0, 0, R\gt$로 쓰도록 하자. 꺽쇠 괄호로 표시한 것은 원래의 $\vec{F} = R(x,y,z)\hat k$를 줄여서 표시한 것이다.

우리가 증명할 발산 정리의 수식을 다시 한번 써보고 증명을 시작해보자.

\[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} = \iiint_V(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})dV\]

주어진 곡면, 정의역, 벡터장을 이용한 증명

발산 정리의 수식 중 면적분 부분으로부터 증명을 시작해 보도록 하자.

\[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S}\]

우리가 이번 발산 정리의 증명에서 상정하는 닫힌 곡면은 원통형인데, 원통형의 면은 윗면, 측면, 아랫면의 세 가지 면으로 나눠서 생각할 수 있으므로 위의 면적분의 식도 아래와 같이 나눠서 쓸 수 있다.

\[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} = \iint_{S_\text{윗면}}\vec{F}\cdot d\vec{S} + \iint_{S_{측면}}\vec{F}\cdot d\vec{S} + \iint_{S_{아랫면}}\vec{F}\cdot d\vec{S}\]

이 때, 측면에 대한 면적분을 생각해보면, 측면에 해당하는 면의 법선 벡터는 항상 $x, y$ 평면에 평행한 법선벡터를 갖게 된다. 그런데, 동시에 우리가 상정한 벡터장은 $\hat k$ 컴포넌트만 가지므로 법선벡터와 벡터장이 항상 수직이다. 따라서, 측면에 해당하는 면적분 값은 0이 된다. 즉, 아래와 같다.

\[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} = \iint_{S_\text{윗면}}\vec{F}\cdot d\vec{S} + \iint_{S_{아랫면}}\vec{F}\cdot d\vec{S}\]

이제 여기서 수식을 좀 더 전개하기 위해 벡터장의 면적분에서 계산했던 것 처럼 면벡터($d\vec{S}$)에 대해 계산해보도록 하자. 일반적으로 곡면은 아래와 같이 두 개의 매개변수를 이용해 표현된다.

\[\vec{r}(u,v) = x(u,v)\hat i + y(u,v)\hat j + z(u,v)\hat k\]

이번 증명에서는 곡면의 정의역이 $x$, $y$이고 높이가 $z = g_1(x,y)$ 혹은 $z=g_2(x,y)$로 정해지므로 곡면의 방정식을 아래와 같이 쓸 수 있다.

\[\vec{r}(x,y) = x\hat i + y\hat j + g(x, y)\hat k\]

따라서, 미소곡면에 대한 면벡터는 아래와 같이 쓸 수 있을 것이다.

\[d\vec{S} = (r_x\times r_y) dxdy = \begin{vmatrix} \hat i && \hat j && \hat k \\ 1 && 0 && g_x \\ 0 && 1 && g_y \end{vmatrix} dxdy\] \[=\lt -g_x, -g_y, 1 \gt dxdy\]

여기서 원래의 면적분 값의 계산을 조금 더 전개해보도록 하자.

\[\Rightarrow \iint_{S_\text{윗면}}\vec{F}\cdot d\vec{S} + \iint_{S_{아랫면}}\vec{F}\cdot d\vec{S} \notag\] \[=\iint_{D_{윗면}}\lt 0, 0, R(x, y, g_2(x,y))\gt \cdot \lt -g_x, -g_y, 1\gt dxdy\notag\] \[-\iint_{D_{아랫면}}\lt 0, 0, R(x, y, g_1(x,y))\gt \cdot \lt -g_x, -g_y, 1\gt dxdy\]

위 식에서 중간의 부호가 더하기에서 빼기로 바뀌는 것은 $g_2(x,y)$의 법선벡터와 $g_1(x, y)$의 법선벡터의 방향이 반대이기 때문이다.

내적을 취해준 뒤 수식을 조금 더 전개하면,

\[\Rightarrow\iint_{D_{윗면}}R(x,y,g_2(x,y))dxdy - \iint_{D_{아랫면}}R(x,y,g_1(x,y))dxdy\] \[=\iint_D R(x,y,g_2(x,y)) - R(x,y,g_1(x,y))dxdy\]

그린정리의 증명에서 사용한 방식과 마찬가지로, 여기서 미적분학의 기본정리를 이용하면 위 식은 아래와 같이 생각할 수도 있다.

\[\Rightarrow\iint_D \left(\int_{z=g_1(x,y)}^{z=g_2(x,y)} \frac{\partial R}{\partial z}dz\right) dxdy\]

이는 삼중적분을 이용해서 아래와 같이 표기할 수도 있다.

\[\Rightarrow \iiint_V\frac{\partial R}{\partial z}dxdydz\]

여기서 $\frac{\partial R}{\partial z}$는 벡터장 $\vec{F} = \lt 0, 0, R\gt$ 에서의 발산값과 같다고 할 수 있다. 또, $dxdydz$는 미소 부피이므로 $dV$와 같이 쓸 수 있다. 따라서, 위 식은 아래와 같이 쓸 수 있다.

\[\Rightarrow \iiint_V\left(\vec{\nabla}\cdot \vec{F}\right)dV\]

즉, 이것은 원래의 발산정리의 식을 증명한 것과 같다.

일반적인 3차원 공간에 대한 발산 정리

앞서 우리는 정의역이 $x$, $y$이고 $z$ 축 방향으로의 컴포넌트만을 가진 벡터장이 주어진 경우1에 대해 발산정리를 증명했다.

마찬가지 방법으로 정의역이 $y$, $z$이고 $x$축 방향으로의 컴포넌트만을 가진 벡터장이 주어진 경우2에 대해서, 그리고 정의역이 $x$, $z$이고 $y$축 방향으로의 컴포넌트만을 가진 벡터장이 주어진 경우3에도 앞서 증명한 방법과 같은 방법으로 증명할 수 있기 때문에 일반적인 닫힌 곡면에 대한 3차원 공간에서 발산 정리가 성립한다고 할 수 있다.

  1. 보통 이런 공간을 type-I region이라고도 부른다.  2

  2. type-II region  2

  3. type-III region  2