$\int x^{dx}-1=$?

※ 이 포스팅은 Quora의 글 중 What is $\int x^{dx}-1$?의 Oden Petersen의 답변을 재구성한 것입니다.

\[\int x^{dx}-1\]

이 수식을 보자마자 “장난치는건가?” 싶은 생각이 들었다.

전혀 익숙한 형태의 수식이 아닐 뿐더러 보통 적분을 계산할 때는 $dx$를 적분 맨 뒤에 써다 주는 것이 관례적이라고 생각했기 때문일지도 모른다.

하지만, 리만 적분의 본래 의미를 생각해본다면 이 적분 값은 정당한 결과를 가져온 다는 것을 알 수 있을 것이다.

본 포스팅을 작성하는 이유는 적분 기호들의 원래적 의미에 다시 한번 집중해서 그 본질적 의미를 탐구했으면 한다는 Oden Petersen의 가르침을 공유하기 위함이다.

또한, 이 문제를 풀면서 적분의 본래적 의미 뿐만 아니라 미분 계수의 의미와 부분적분에 대해서도 생각해야 하기 때문에 미적분학의 기초를 다시끔 생각해볼 수 있게 하는 충실한 예시가 될 수 있을 것으로 생각한다.

리만 적분의 본래적 의미

리만 적분은 임의의 함수 아래의 면적을 계산하는데 사용된다.

아래의 그림 1에서 처럼 임의의 함수 $f(x)$와 $a\leq x \leq b$로 둘러싸인 영역의 면적을 계산하는데 리만 적분이 사용될 수 있다.

아래의 그림 1의 면적을 계산한다고 하면 이런 식으로 수식으로 표현할 수 있다.

\[\int_a^b f(x) dx\]

우리는 인테그랄 기호 $\int$와 미소변위 $dx$를 그저 기호로만 생각할 뿐 본래 의미에 대해 간과하는 경우가 종종 있다.


그림 1. 함수 $f(x)$에 대해 $a\leq x\leq b$의 구간에 대한 면적 $S$
출처: 위키피디아, 리만 적분

하지만, 리만 적분의 본래적 의미는 무엇인가?

리만 적분은 정의역 구간을 작은 구간으로 잘게 나눠 각각의 작은 구간 위의 넓이를 직사각형의 넓이를 통해 근사하는 것이다.


그림 2. 리만 적분은 특정 구간 내에서 규칙적으로 구간을 분할하여 사각형의 면적 합을 계산하는 과정이라고 할 수 있다.
맨 위의 숫자는 함수의 적분으로 수렴되는 사각형의 총 면적을 나타냄.
출처: 위키피디아, 리만 적분

즉, 리만 적분의 원래 의미를 수식으로 쓰면 아래와 같다.

\[\int_a^b f(x)dx = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\sum_{x\in[a, b]} f(x) \Delta x\]

즉, 적분기호 $\int$는 본래 $\sum$에서 부터 나왔으며 $dx$는 매우 작아지는 직사각형의 밑변의 길이 $\Delta x$를 의미하는 것이다.

본격적인 풀이

이제, 리만 적분의 의미를 생각하면서 아래의 식을 풀어가보도록 하자.

\[\int x^{dx}-1\]

위 식에서 $dx/dx$를 분자 분모에 곱해도 이 식의 결과는 영향을 받지 않는다.

\[\Rightarrow \int\frac{x^{dx} - 1}{dx}dx\]

여기서 $(x^{dx} - 1)/dx$에 대해 따로 떼어 놓고 생각해보자.

$dx$는 무한히 작아지는 값이므로 아래와 같이 쓸 수 있다.

\[\frac{x^{dx}-1}{dx}\] \[= \lim_{n\rightarrow 0}\frac{x^n - 1}{n}\] \[=\lim_{n\rightarrow 0}\frac{x^n-x^0}{n-0}\]

여기서 $f(n) = x^n$ 이라고 생각하면 다음과 같은 형태로 바꿔 생각할 수 있다.

\[\Rightarrow\lim_{n\rightarrow 0}\frac{f(n)-f(0)}{n-0}\]

즉, 이 식은 $f(n) = x^n$의 $n$에 대한 미분계수를 의미하며, 특히 $n=0$일 때의 미분 계수 값을 묻고 있는 것이다. ($x$에 대한 미분계수를 말하는 것이 아님에 주의하자.)

다시 말해 수식으로 쓰자면 아래와 같이 쓸 수 있는 것이다.

\[\Rightarrow \frac{d}{dn}x^n\big|_{n = 0}\]

지수함수에 대한 미분을 생각하면,

\[\Rightarrow x^n\ln(x)\big|_{n=0}\] \[=\ln(x)\]

이다.

즉, 원래의 식은

\[\int x^{dx}-1 = \int \ln(x)dx\]

으로 쓸 수 있다.

여기서는 부분적분을 이용하면 위 부정적분을 계산할 수 있다.

부분적분의 공식은 아래와 같다.

\[\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx\]

여기서 $f(x) = \ln(x)$, $g’(x) = 1$로 놓으면, $f’(x) = 1/x$이고, $g(x) = x$이다.

따라서,

\[식(13) = x\ln(x)-\int 1 dx\] \[=x \ln(x)-x + C\]

인 것을 알 수 있다. (여기서 $C$는 적분 상수)