미정계수법

Prerequisites

본 포스팅의 내용을 더 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.

미정계수법 소개

미정계수법(method of undetermined coefficients)은 비제차 상미분방정식을 푸는 방법 중 하나다.

일반적으로 상수 계수를 갖는 상미분 방정식을 풀 때 사용하면 잘 풀리는 방법으로 알려져 있다.

가령 아래와 같은 미분방정식을 생각해보자. (이 식은 비제차 미분방정식의 의미 편의 식 (9)와 같다.)

\[x''-4x'+3x=t\]

우리는 비제차 미분방정식에 대해 성립하는 solution $x_p(t)$가 다음과 같이 대입했을 때 성립한다는 것을 알고 있다.

\[x_p''-4x_p'+3x_p=t\]

미정계수법의 아이디어는 particular solution을 미분하고 선형 결합한 결과는 particular solution의 형태와 유사할 것이라는 것이다. 다시 말해, 다항함수를 미분하면 다항함수가 나오고, 지수함수를 미분하면 그대로 지수함수가 나오는 등의 현상을 이용한 아이디어이다.

즉, 식 (1)과 같은 미분방정식의 particular solution은

\[x_p(t)=At+B\]

의 형태를 띌 것이라고 가정하는 것은 타당한 가정이라고 할 수 있다.

미정계수 테이블

식 (1)의 $t$와 같은 비제차 항은 여러가지 형태가 나올 수 있는데 보통 다항식, 삼각함수, 지수함수의 꼴로 나온다면 아래와 같이 미정계수를 정해 particular solution을 가정하여 풀이를 시도해볼 수 있다.


그림 1. 미정계수법을 이용 시 적용할 수 있는 particular solution의 형태
그림 출처: Advance Engineering Mathematics, Dennis G. Zill, 6th ed., Jones & Bartlett Learning

여기서 $x_p$의 형태가 그렇게 다양하지 않다는 점이 보일 수도 있다.

다시 말해, 미정계수 방법을 이용할 때에는 비제차 항이 다항함수, 사인함수, 코사인 함수, 지수함수 혹은 이들의 선형결합일 경우에만 적용할 수 있다. 이 외의 비제차 항에 대해서는 매개변수 변환법을 이용해야 한다.

예제 문제 풀기

예제 문제 1

미정계수법을 이용해 간단한 예제를 한번 풀어보도록 하자.

가령 식 (1)의 경우 particular solution의 꼴을

\[At+B\]

와 같이 두고 문제를 풀어볼 수 있다.

2계 선형미분방정식의 해법(2) 편에서 본 내용을 적용하면 비제차 미분방정식의 완전해는 homogeneous solution과 particular solution의 합이다.

식 (1)의 homogeneous solution은 다음과 같이 풀 수 있다.

식 (1)의 제차미분방정식 형태는 다음과 같다.

\[x''-4x'+3x = 0\]

여기서 $x=e^{\lambda t}$라고 가정하여 대입하면,

\[\lambda^2e^{\lambda t}-4\lambda e^{\lambda t}+3e^{\lambda t} = 0\]

$e^{\lambda t}$로 식을 묶어주면,

\[e^{\lambda t}(\lambda^2-4\lambda+3) = 0\]

$e^{\lambda t}$는 항상 양수이므로,

\[\lambda^2-4\lambda+3 = 0\]

이고 $\lambda$는

\[\lambda = 1 \quad \text{ or } \quad 3\]

이다.

따라서, homogeneous solution은

\[x_h = c_1e^t+c_2e^{3t}\]

이다.

그러면 homogeneous solution에 particular solution을 합친 것을 일반해라고 볼 수 있으므로 우리의 일반해는 아래와 같은 형태가 될 것이다.

\[x(t) = c_1e^t + c_2e^{3t}+At+B\]

한편, particular solution은 원래의 식 (1)의 미분방정식에 대입해도 성립해야 하므로,

\[x_p' = A\] \[x_p'' = 0\]

라는 관계를 이용해 원래 식 (1)에 대입하면,

\[식 (1)\Rightarrow -4A+3(At+B)\] \[\Rightarrow 3At-4A+3B=t\]

따라서 $3A = 1$ 이고 $-4A+3B = 0$ 이므로,

\[A=1/3, \quad B = 4/9\]

와 같다. 따라서, 식 (1)의 일반해는

\[x(t) = c_1e^t + c_2e^{3t}+\frac{1}{3}t+\frac{4}{9}\]

이다.

예제 문제 2

아래의 미분방정식의 particular solution을 찾으시오.

\[x''-x'+x = 2\sin(3t)\]

이 문제를 보면 particular solution의 꼴을 $A\sin(3t)$라고 설정할 수 있지만 $\sin(3t)$를 여러번 미분하다보면 $\sin(3t)$ 뿐만 아니라 $\cos(3t)$의 꼴도 함께 얻어지게 된다는 것을 생각해볼 수 있다.

따라서, 우리는 particular solution의 형태를 다음과 같이 생각할 수 있다.

\[x_p=A\cos(3t)+B\sin(3t)\]

이제 $x_p$를 미분하고 원래 주어진 미분방정식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

\[x_p'' -x_p'+x_p = (-8A-3B)\cos(3t)+(3A-8B)\sin(3t)=2\sin(3t)\]

따라서,

\[-8A-3B=0\] \[3A-8B = 2\]

이다.

따라서,

\[A=\frac{6}{73},B =-\frac{16}{73}\]

이다.

따라서, particular solution은

\[x_p(t)=\frac{6}{73}\cos(3t)-\frac{16}{73}\sin(3t)\]

이다.

예제 문제 3

아래의 미분방정식의 particular solution을 찾으시오.

\[x''-5x'+4x=8e^{t}\]

이번 문제는 약간 독특한데, 만약 우변에 있는 형태 그대로 particular solution을 $Ae^{t}$라고 상정해보면 문제가 풀리지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있다.

실제로 대입해보면,

\[Ae^{t}-5Ae^t+4Ae^t=8e^{t}\]

이므로 $0=e^{8t}$와 같은 이상한 결과를 얻게 되어서 기존의 미정계수법으로는 문제를 풀 수 없음을 알 수 있다.

이렇게 문제가 풀리지 않는 이유는 주어진 미분방정식의 제차 꼴의 미분방정식의 기저해 중 하나가 $e^t$이기 때문이다.

우리는 reduction of order 편에서 봤던 내용과 유사하게 $e^t$와 선형독립인 새로운 기저 $te^t$를 particular solution의 기저해로 잡고 문제를 풀어보자.

\[x_p=Ate^t\]

따라서,

\[x_p'=Ae^t+Ate^t\]

이고

\[x_p''=Ae^t+Ae^t+Ate^t=2Ae^t+Ate^t\]

임을 알 수 있으며, 원래의 미분방정식에 대입하면,

\[x_p''-5x_p'+4x_p=-3Ae^t=8e^t\]

와 같다는 것을 알 수 있다.

따라서,

\[x_p=-\frac{8}{3}te^t\]

임을 알 수 있다.