섀넌의 샘플링 정리

시간 샘플링 이론이 말해주는 것:

"얼마나 빼곡히 샘플링을 해야 원래 신호로 복구하는데 어려움이 없을까?"

시간 샘플링?

물리적인 (아날로그) 신호를 디지털 화면 상에 표시해주기 위해선 샘플링이 필요하다. 대개 신호처리에서 샘플링이라고 하면 시간 샘플링을 말하는 것 같다.

시간 샘플링이란 원래의 아날로그 신호 (포스트 맨 위 애플릿의 흰색 실선)를 디지털 신호로 바꿔주는 과정이라고 할 수 있다. (드디어 아날로그 세계와 디지털 세계가…!) 포스트 맨 위 애플릿에서는 ‘어느 정도의’ 주기를 갖고 아날로그 신호를 샘플링 해주는데, ‘어느 정도의’ 샘플링 속도 이상이 되면 샘플된 시간과 신호 값들을 가지고 원래의 신호로 거의 비슷하게 복구할 수 있다.

그러면, 이론적으로 ‘어느 정도의’ 주기를 갖고 아날로그 신호를 샘플링 해줘야 원래 신호로 복구 가능한 것일까? (즉, ideal reconstruction). 이 질문에 대한 해답을 sampling theorem에서 구할 수 있다.

Sampling theorem의 증명과정

연속시간 신호 와 이산시간 신호 을 생각해보자.

이 연속시간 신호의 샘플링 된 sequence는 다음과 같이 표현할 수 있다.

이 때, 는 샘플링 간격이다.

연속시간 신호 에 대하여, 다음과 같은 푸리에 변환을 가진다는 것을 알고 있다.

이산시간 신호 에 대하여, 우리는 다음과 같은 푸리에 변환이 가능함을 알고 있다.

이 때, 의 관계를 수학적으로 표현해보고자 한다.


이제 impulse train이라고 불리는 신호를 정의하도록 하자.


그림 1. impulse train의 모습

impulse train을 이용하여 연속신호를 샘플링한 것을 수학적으로 표현할 수 있다.

따라서, 연속신호와 이산신호의 관계를 다음과 같이 생각할 수 있다.

는 비주기 연속신호이므로 푸리에변환 할 수 있다. 의 푸리에 변환 는 다음과 같이 쓸 수 있다.


식 (8)


식 (9)

여기서 식 (8) 에서 식 (9)로 넘어갈 때에는 다음과 같은 델타 함수의 성질을 이용한 것이다.


식 (10)

동시에, 는 주기를 로 하는 연속시간 주기 신호이므로. 는 CTFS를 통해 표현할 수 있다.

where

(여기서도 식 (10)의 성질을 이용했다.)


그런데, 동시에 CTFT는 주기 신호이던 아니던 관계없이 어떤 연속 신호라도 적용할 수 있으므로, 에 CTFT를 적용해도 무방하다.


식 (16)

여기서 식 (16) 내의 정적분 파트에 대해서 생각해보자. 이 식을 다시 쓰면 아래의 식 (17)과 같다.


식 (17)

식 (17)은 를 푸리에 변환한 것으로 해석할 수도 있다.

식 (17)을 이해하기 위해 다음의 두 푸리에 변환에 대해 생각해보자.

또, 라고 했을 때

즉, 식(17)은 1의 푸리에 변환인데, 그것이 만큼 modulation 되었다고 생각할 수 있는 것이다.

따라서 식 (17)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서, 식 (16)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

또한, 로 생각 할 수 있다고 했는데, 컨볼루션과 푸리에 변환 사이의 관계를 생각하면 이다. (여기서 ‘’ 연산자는 컨볼루션 연산자를 의미함.)

따라서,


식 (25)

여기서 우리는 식 (25)의


식 (26)

를 다음과 같이 생각할 수 있다.

왜냐하면, 다음과 같이 볼 수 있기 때문이다.

아래 식에서와 같이 의 컨볼루션 연산은 로 바꿔주고 에서 를 뺀 로 바꿔준 것으로 볼 수 있는데,

마찬가지의 방식을 적용해서 에서도 왼쪽의 델타함수에 있는 로 바꿔주고, 에 있는 로 바꿔주면

와 같기 때문이다.

따라서,

식 (26)에 의해서,

델타함수의 성질에 의해서,

그러므로 우리는 식 (6)~(9)와 식 (27)~(29)로부터 간의 관계를 다음과 같이 확인할 수 있다.

이 때, 의 주파수 스펙트럼이 에서 0, 다른 말로는 이라면 (즉, 주파수 영역이 bounded),


ideal reconstruction

지금까지 Frequency Domain에서 의 관계에 대해서 알아보았다. 그렇다면 둘의 관계에 대해서 아는 것은 어떤 의미를 갖는 것일까? 혹은 어떤 것을 파악하기 위해서 의 관계를 수식적으로 이해해야 하는 것일까?

우리는 sampling한 신호(혹은 이산 신호)에 어떤 방법을 취하면 그것이 원래의 contiunous time signal로 완벽하게 복구 시킬 수 있는지를 알고싶은 것이다. 우리는 Sampling Theorem을 통해서 수식적인 관계를 식(32)와 같이 발견하게 되었다.

그렇다면, 의 샘플링한 신호의 fourier transform의 형태인 를 다시 로 바꾸기 위해선 어떤 조치를 취해야 할까? 그것은 이기 때문에 다음과 같은 method를 통해서 를 다시 로 돌려 놓을 수 있다고 할 수 있다.

where

즉, 는 an ideal low pass filter라고 할 수 있다. (특정 주파수보다 낮은 신호들은 모두 내보내고, 특정 주파수보다 높은 대역의 신호들은 모두 통과시키지 않으니까.)

시간 영역(time domain)에서 우리는 에 대하여 다음과 같은 관계를 구할 수 있다.

여기서 우리는 주파수 도메인에서 ideal lowpass filter는 time domain에서 sinc function으로 표현된다는 사실까지 확인할 수 있다. 아래는 위의 sinc function의 유도과정을 증명한 것이다.

PROOF impulse response function in ideal reconstruction transfer function

아래와 같은 에 대하여 역 푸리에 변환을 취해보자.

Q.E.D.