밑이 음수인 지수함수


밑이 음수인 지수 함수 y=(-1.5)^x. 왼쪽 plot이 정의역, 오른쪽 plot이 치역을 나타내고 있다.

※ 이 article에서는 복소수가 single-valued라고 가정하겠습니다.

지수 함수의 정의

일반적으로 지수함수는 밑이 양수인 경우에 대해 취급한다. 위키피디아에서는 다음과 같이 지수함수를 정의하고 있다.

를 양의 상수, 를 모든 실수 값을 취하는 변수라고 할 때,

로 주어지는 함수를 말한다.

우리가 흔히 아는 지수함수를 시각화 하자면 다음과 같다.


그림 1. 일반적인 지수 함수. 밑이 1보다 큰 경우와 0에서 1 사이인 경우의 예시

생각해보면 밑이 음수인 경우 실수 지수를 가지는 지수함수의 값은 어떻게 표현하면 좋을까?

가령, 만 보더라도 가 정수인 경우는 곱셈의 정의를 이용해 쉽게 처리하겠지만, 지수 가 실수인 경우에는 그 처리가 어렵다.

그런데 잘 생각해보면 에서 인 경우 우리는 이 값이 허수 라는 사실을 알고 있다. 즉, 우리는 밑이 음수인 지수함수에 대해서는 복소수에서 그 해법을 찾아볼 수 있을 것 같다.

수에 대한 이해: 크기와 방향

좌, 우 방향을 가지는 수: 정수

우리는 음수 밑을 가지는 지수함수에 대해 생각해보고자 하므로, 음수에 대해 조금 더 생각해볼 필요가 있다.

음수는 아래의 그림2와 같이 분해해서 생각할 수 있다.


그림 2. 음수는 방향과 크기를 모두 가지고 있다.


그림 3. -1.5의 방향과 크기를 모두 나타낸 애니메이션.

2차원 평면 상의 모든 방향을 가지는 수: 복소수

그런데 방향은 꼭 좌, 우만 있는 것은 아니다. 2차원 평면 상에서는 상, 하, 좌, 우 등 360도로 수많은 방향이 있을 수 있다. 다시 말해, 수(여기서는 복소수를 지칭)는 크기와 방향을 모두 가질 수 있다.

2차원 평면 상의 모든 방향을 표시하기 위해선 직교하는 두 개의 방향이 있으면 되는데, 이전 글 중 허수와 관련된 글1을 보면 잘 알 수 있겠지만 허수는 실수와 서로 직교하는 수 체계이기 때문에 실수축과 허수축을 도입해 2차원 상의 수인 복소수를 표현할 수 있을 것이다.


그림 4. 실수축과 허수축을 이용해 구성한 복소 평면. 복소 평면에선 2차원 공간 상의 어떤 방향의 회전이라도 표현될 수 있다.

이로써 2차원 공간 상에서의 회전을 모두 표현할 수 있게 되는데, 이 때 유용한 공식은 오일러 공식이다.

오일러 공식은 크기 축으로부터의 각도 만큼을 가지는 숫자를 표현하기에 유용하다.


그림 5. 오일러 공식을 이용하면 크기와 방향을 이용해 복소수를 표현하기에 용이하다.

다시 음수로 돌아와서, 복소 평면과 오일러 공식을 이용해 을 표현하자면, 크기는 1이고 각도는 이므로 아래의 그림 6과 같이 표현할 수 있을 것이다.


그림 6. 복소 평면에서 -1은 크기는 1이고, 실수축으로부터의 각도는 180\'(pi 라디안)인 숫자이다.

밑이 음수인 지수함수

-1의 x 승은? (x는 실수)

오일러 공식을 이용해 을 쓰면 와 같으므로, 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

식 3을 해석할 때, 오일러 공식을 이용하면 축으로부의 각도가 인 점의 위치를 나타낸다고 할 수 있다.


그림 7. -1의 x승을 표현한 그래프. 왼쪽의 plot이 정의역, 오른쪽의 plot이 치역이다.

-1.5의 x 승은? (x는 실수)

마찬가지 방법을 이용해서 밑이 -1이 아니라 -1.5이면 어떨까?

식 4를 자세히 보면 가장 우측 식에서 는 x가 커질 수록 값이 커지고, 는 식 3 및 그림 7에서 보았듯이 x의 크기에 따라 회전한다.

따라서, 식 4의 결과를 보면 x가 커질 수록 값이 커지면서 회전하는 결과를 보일 것이다.


그림 8. -1.5 의 x승을 표현한 그래프. 왼쪽의 plot이 정의역, 오른쪽의 plot이 치역이다.

그림 8의 시간에 따른 흐름을 색깔로 나타내면 이 article의 맨 처음과 같은 그림을 얻을 수 있게 되는 것이다.


그림 9. -1.5의 x승을 표현한 그래프. 시간에 따른 흐름을 색깔을 이용해 표시했다.

또 다른 방식의 시각화

지금까지 밑이 음수인 지수함수를 시각화 하기 위해선 정의역과 치역을 따로 분리시켰는데,

다른 방법을 이용해 시각화 하면 정의역과 치역을 한번에 표시해줄 수도 있다.

다만 이 방법에서는 치역의 실수부와 허수부를 따로 그려야 한다.

가령 의 그래프는 아래의 그림 10과 같다.


그림 10. 정의역과 치역을 한번에 표현할 수 있는 밑이 음수인 지수함수의 시각화

  1. https://angeloyeo.github.io/2019/06/15/imaginary_number.html