시간-주파수 불확정도

가우시안 함수

가우시안 함수(Gaussian function)은 다음과 같은 수식으로 정의된다.

가우시안 함수는 complex Morlet wavelet의 envelope 또는 시간 영역에서 보면 time window의 역할을 하게 되는 함수이다. 위의 식 중 상수 a, b,c를 적절히 변형시키면 평균 , 표준편차가 인 가우시안 함수를 상정할 수 있다.

가우시안 함수를 이용하는 이유는 양자역학의 코펜하겐 해석을 빌려와 설명할 수 있을 것 같은데, freely moving quantum의 위치(position) 또는 운동량(momentum)이 각자의 space에서 확률적으로 정해진다고 할 때 평균값 를 중심으로 만큼의 표준편차를 가지고 존재한다고 말 할 수 있다면 그 quantum의 위치를 표현하는 확률 분포는 정규 분포를 통해 표현할 수 있기 때문이다1.

우리의 경우는 하나의 시간 신호에 대해 시간-주파수 분석을 시행 했을 때 시간-주파수 domain에서 신호가 가지고 있는 시간-주파수 특성을 정확한 좌표로써 알 수 없으며 이것이 어떤 평균적인 위치를 중심으로 어느 정도의 표준편차를 가지고 확률적으로 존재한다고 가정할 때, 시간-주파수 공간의 확률적인 위치는 정규 분포를 통해 표현하는 것이 수학적으로 가장 타당하기 때문이다.

이제 가우시안 함수의 푸리에 변환을 확인해본 다음 불확정성의 원리를 적용시켜 시간-주파수 불확정도의 관계를 확인해보자.

가우시안 함수의 푸리에 변환

상수를 적절히 변형시켜 표본의 표준편차가 이고, 평균이 0인 분포를 표현하는 Gaussian function은 다음과 같다. 이 함수는 소위 정규분포라고 불리는 함수와 동일하다.

이제 에 CTFT를 적용하면 다음과 같다.

조금 복잡하겠지만 에 대해 미분한 다음 미분방정식을 풀어내는 방식으로 의 꼴을 확인할 수 있게 된다.

여기서 부분적분을 적용해보도록 하자. 로 두고, 로 두면 부분적분 공식을 활용하기 위해 다음과 같은 관계를 유도할 수 있다.

그리고 부분적분 공식을 이용하면 위의 에 대하여

이므로

이다.

여기서 우변의 첫 번째 항인 에서 0으로 수렴하므로

가 된다.

따라서 우리는 다음의 미분방정식을 얻을 수 있다.

이 식은 다음과 같이 변경할 수 있다.

양변에 적분기호를 씌우면,

따라서,

이다.

이 때, 적분상수 C를 구해보면

이며, 이것은 소위 말하는 가우스 적분을 해결함으로써 얻을 수 있다. 가우스 적분을 풀어내는 방법은 내 유튜브 영상 중 가우스 적분 편을 참고하길 바란다 (https://www.youtube.com/watch?v=iLW-CgzA-NU).

일반적인 가우스 적분의 해는 다음과 같으므로,

따라서 변수 치환을 활용하면

이고, 이것을 통해서 다음을 확인할 수 있다.

따라서,

이기 때문에

임을 알 수 있다.

그러므로,

의 푸리에 변환은

임을 알 수 있다.

즉, 가우시안 함수의 푸리에 변환도 가우시안 함수임을 확인할 수 있다.

시간, 주파수 영역에서의 불확정도와 그들의 관계

이때 다시 한 번 정규 분포의 성질을 생각해보면 시간 영역에서 보았을 때 의 시간 불확정도 이고, 주파수 영역에서 보았을 때 의 주파수 불확정도 라는 것을 알 수 있다.

따라서 시간, 주파수 불확정도의 관계는 다음과 같다.

  1. 이러한 가정을 가지고 어떻게 정규분포가 유도되는지 궁금한 사람은 내 유투브의 영상 중 <정규 분포="" 공식="" 유도=""> 편을 보기 바람. https://www.youtube.com/watch?v=vQghF8hjwbw