가우스 적분은 다음과 같이 가우스 함수에 대한 실수 전체 범위에 대한 적분으로, 그 값은 다음과 같다.

가우스 적분 계산 과정

우선 아래와 같이 가우스 적분의 값을 라고 두자.

그러면 를 제곱한 은 다음과 같이 생각할 수 있다.

식 (5)

여기서 아래와 같이 직교좌표계를 극좌표계로 변경해보자.

직교좌표계 ⇒ 극좌표계: 적분 범위의 수정

적분범위는 다음과 같이 바뀌게 된다.

식 (75)

식 (7)과 같이 적분 범위가 바뀌는 이유는 식 (7)의 왼쪽 의 범위가 말하는 것은 실수 전체 범위이므로,

극좌표계에서 실수 전체 범위를 커버하기 위해선 반지름()은 부터 까지 변하면서 각도는 에서 까지 한 바퀴를 다 돌면서 커버하면 되기 때문이다.

그림 1. 직교좌표계와 극좌표계의 비교

직교좌표계 ⇒ 극좌표계: 미소 면적의 수정

식 (5)에 있는 미소 면적()는 아래와 같이 바뀌게 된다.

은 방향으로 변하는 미소변위로 생각할 수 있고 는 각도가 약간 변한 것이다. 그래서 는 호의 길이의 미소변위로 생각해줄 수 있게 되는 것이고, 결과적으로 이 둘을 곱하면 미소면적 가 된다.

그림 2. 극좌표계의 미소 면적

계속 적분을 수행해보자.

위의 두 과정을 생각하면 식(5)의 적분값은 다음과 같이 적어줄 수 있다.

위 식은 아래와 같이도 쓸 수 있다.

식 (11)

여기서 로 치환해주자.

그러면,

이므로, 식 (11)은 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.

위 결과는 과 같으며, 의 값은 항상 양수이므로,

임을 알 수 있다.