prerequisites
그린 정리를 이해하기 위해선 다음의 세 가지 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.
- 미적분학의 기본정리
함수 가 닫힌구간
에서 연속이며, 함수
가
의 임의의 부정적분이면 다음이 성립한다.
그린 정리
평면에서의 그린 정리는 다음과 같다.
벡터장이 로 주어져있고, 선적분의 방향은 면적 A의 boundary에 대해 반 시계 방향이라고 할 때,
위 식에서 볼 수 있듯이 좌변에는 중적분, 우변에는 선적분의 결과가 있으며 두 결과 값이 같다는 것을 보여주고 있다.
특히, 그린 정리를 생각할 때 중요한 점 중 하나는 닫힌 경로에 대해서 그 경로와 내부 면적에 대해 적용하는 정리(theorem)라는 점이다.
그린 정리의 증명
본 post에서 그린 정리의 증명의 방식은 선적분을 먼저 증명하고, 그 결과가 중적분의 결과와 같다는 것을 보여주는 것이 될 것이다.
증명을 위해 다음과 같은 닫힌 경로를 생각해보자.
그림 1. 그린 정리 증명을 위해 생각한 닫힌 경로 C와 내부의 면적 A.
출처: Mathematical Methods in the Physical Sciences, pp. 309, 3rd ed., Mary L. Boas
위 그림에서 타원이 두 개가 보이는데 둘 다 같은 닫힌 곡선을 의미하는데 경로만 다르게 설정된 것이다.
그림 1의 왼쪽에서 보면 가
에서
까지 바뀌고 아랫쪽 곡선을
, 윗쪽 곡선을
라고 명명하였다.
또, 그림 1의 오른쪽에 있는 닫힌 곡선에서는 가
에서
까지 바뀌고, 왼쪽에 있는 곡선을
, 오른쪽에 있는 곡선을
로 명명하였다.
우리는 이 때 아래와 같은 벡터장이 주어져있다고 생각해보자.
우리는 이제 아래와 같이 선적분을 계산할 수 있다.
식 (5)
한번에 적분식을 계산하기에는 식 (5)가 복잡하기 때문에, 식 (5)의 적분을 계산할 때 성분에 대한 결과와
성분에 대한 결과를 각각 계산해서 더해주는 방식으로 계산을 진행하자.
성분에 대한 적분
그림 1의 왼쪽 타원을 보면 닫힌곡선 C에서 는
에서
까지 바뀌며, 그 때 따라가는 곡선은
과
로 나눠서 생각해볼 수 있다.
식 (7)
여기서 식(7)의 두 번째 적분식의 ,
의 순서를 바꿔주고 부호를 반대로 바꿔주자.
여기서 미적분학의 기본정리를 사용하면 다음과 같다.
식 (10)
여기서 미적분학의 기본정리를 이용했다는 것은 임의의 닫힌구간 에서 연속이고 미분가능한 함수
에 대해
와 같이 생각할 수 있기 때문이다.
식 (10)에서 과
의 위치를 바꿔주고 (-) 부호를 붙여주자.
굳이 과
의 위치를 바꿔주는 것은 그림 1에서 확인할 수 있듯이
축의 증가 방향은
에서
로 가는 방향이기 때문이다.
(푸비니의 정리로 중적분 시 와
의 순서가 바뀌어도 상관이 없다.)
성분에 대한 적분
이번엔 성분에 대한 적분을 해보도록 하자.
그림 1의 오른쪽 타원을 보면 닫힌곡선 C에서 는
에서
까지 바뀌며, 그 때 따라가는 곡선은
과
로 나눠서 생각해볼 수 있다.
식 (15)
마찬가지 방법으로 식 (15)의 왼쪽 적분식의 와
의 순서를 바꾸고 부호를 바꿔주자.
성분에 대한 적분을 해줄때와 마찬가지로 미적분학의 기본정리를 이용하면,
x, y 성분에 대해 계산한 결과들을 합해주자.
원래 그린정리에서 구하려고 했던 값들을 생각해보면 앞서 구한 x, y 성분에 대한 선적분 값들을 합쳐준 것이다.
즉,
이다.
이로써 그린 정리를 증명할 수 있다.
Curl을 통한 그린 정리의 직관적 이해
아래의 내용을 이해하기 위해선 아래의 내용을 알고 오시는 것이 좋습니다.
이번에는 그린정리의 직관적인 의미를 좀 더 이해해보도록 하자.
다음과 같이 어떤 벡터장 위에 넓이를 갖는 영역 R이 있다고 하자.
그림 2 xy 평면 위에 임의의 벡터장 와 폐곡선 C가 있다.
벡터장 를
라고 하면, 그린 정리에 의해 다음이 성립한다.
식 (23)
식 (23)의 좌변은 curve C를 따라 벡터장 에 대해 선적분 한 것이다.
선적분 값은 curve를 따라 벡터장이 curve를 따라 CCW로 흐르면 양의 값이 나올 것이고 curve를 따라 벡터장이 대부분 CW로 흐르면 음의 값이 나온다.
이제 식 (23)의 좌변으로부터 식 (23)의 우변을 유도해보자. 영역 R을 아래와 같이 반으로 쪼개서 보도록 하자.
그림 3 영역 R을 이등분 해보자. 세로로 쪼개든 가로로 쪼개든 어떻게 쪼개도 상관없다.
그럼 영역의 폐곡선을
,
영역의 폐곡선을
라고 해보자. 그러면 다음이 성립한다.
왜 그런가? 과
사이의 boundary 에서는
에서 구하게 되는 선적분과
에서 구하게 되는 선적분의 값이 상쇄되기 때문이다.
그것은 선적분은 기본적으로 벡터장이 얼마나 CCW 방향으로 닮았는지 확인하는 것이기 때문이다.
이제 을 아래와 같이 사등분 해보자.
그림 4 영역 R을 4등분했다. 어떤 모양으로 쪼개든지 큰 상관은 없다만 편하게 생각하기 위해 위와 같이 쪼개보자.
앞에서와 같은 논리로 다음이 성립한다.
–
그렇다면 영역 R을 N등분하면 어떻게 될까? 다음의 식을 성립시킬 수 있다.
식 (26)
이제 식 (26)에 대해 고민해보기 위해 영역 을 N 개로 쪼갰을 때, 임의의
번째 영역에 대해 잠시 고려해보자.
그림 5 영역 R을 N개로 나누었다고 했을 때 k 번째 영역 .
Curl 편에서 확인했듯이 curl은 단위 영역이 받는 회전력이다.
그렇다면 일 때 이
영역은 미소 영역으로 생각할 수 있을 것이다.
그러면 넓이가 인 영역
의 회전량은 얼마인가?
그것은
가 된다.
즉, 이것은
과 같은 의미를 갖는다. 왜냐하면 회전에 관여하는 벡터만 고려하여 선적분 해주는 것이 curl을 생각하는 방법이었기 때문이다.
(바로 이해되지 않는다면 벡터장의 회전(curl) 편을 보기를 강력 추천한다.)
따라서 식 (26)은 다음과 같이 고려해줄 수 있다.
이 때 을 무한하게 크게 만들면
가 되고,
따라서,
가 된다.