미분방정식을 이용한 오일러 공식 유도

임의의 복소수 를 생각해보자.

여기서 는 실수라고 하자.

이 값은 극좌표계를 이용해 표현하면 다음과 같이 표현할 수도 있다.

원점에서 까지의 거리가 이고 축과 이루는 각도가 라고 했을 때,


식 (1)

이다.


그림 1. 복소평면 상의 점 하나는 복소수 하나를 표현한다.

여기서 인 경우를 상정해 이 값을 라고 하도록 하자.


식 (2)

라는 값은 반지름이 1인 단위 원 상의 점이 된다.


그림 2. 복소평면 상의 단위원 위의 점 . 축 과의 각도가 이다.

여기서 에 대해 미분해보면 그 값은 다음과 같다.


식 (3)

여기서 를 양변에 곱해주자.

그러면,


식 (4)


식 (5)

임을 알 수 있다.

그런데 식 (5)는 식 (2)와 같으므로,


식 (6)

임을 알 수 있다.

여기서 식 (6)을 약간 변형하여 에 대한 식은 모두 좌변에, 에 관한 식은 모두 우변에 모아보자.


식 (7)


식 (8)

이제 식 (8)의 양변을 적분시켜주면,


식 (9)


식 (10)

여기서 는 적분상수이다.

이 식을 다시 한번 쓰면,


식 (11)

라고 할 수 있다.

여기서 는 임의의 상수이다.

이제 를 결정해보자.

식 (11)은 식 (2)와 같은 것이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 인 경우를 생각해보면,

임을 알 수 있다.

따라서,

이다.