벡터장과 path independence

line integral을 할 때 어떤 벡터장은 path에 상관없이 같은 결과를 보여준다.

path independence의 결과는 그 벡터장이 어떤 스칼라 함수 의 gradient 일 때 path-independent하다고 말한다.

그러한 결과는 미분적분학의 기본정리에 의해 당연히 그렇게 나와야 하는 결과이다.

이제부터 이 말의 의미가 무엇인지 알아보도록 하자.

증명 방식과 내용은 Khan academy의 Youtube 영상을 참고했다.

1. 보존장 (conservative field)


그림 1 어떤 벡터장에서 임의의 시작점과 끝점이 같은 세 curves, , C_3$

그림 1에서 볼 수 있듯이 평면상에 어떤 벡터장이 있다고 해보자. 벡터장의 식은 다음과 같다.

(지금 당장은 벡터장의 식이 어떤지는 중요하지 않을 수 있다.)


식 (1)

이 때 이 벡터장은

이면 보존장(conservative field)라고 한다.

즉, 경로에 관계없이 시작점과 끝점이 같은 서로 다른 경로를 선적분 해주었을 때 값이 같다면 보존장이라고 할 수 있다.

2. Multivariate chain rule

임의의 scalar 함수 에 대해 다음이 성립한다.

위의 chain rule이 말하는 것은 다음과 같다. 우리가 알고 싶은 것은 가 조금씩 변할 때 의 변화율이다.

그런데, 에 연관되어 있고 또 에 연관되어 있으므로 위와 같은 관계가 형성되는 것이다.

3. 보존장의 조건 및 증명

어떤 벡터장이 보존장이 되기 위해서는 그 벡터장은 어떤 스칼라 함수의 gradient이어야 한다. 다시 말해,

즉,

일 때 이다.

증명은 아래와 같이 가능하다.

이므로

라고할 수 있다.

또 이로부터

라고 적어도 무방하다.

이제, 벡터장 가 보존장인지 알아보자. 이 때, 매개변수 의 범위는 로 하자.

선적분 (line integral)을 하기 위해 을 먼저 구해보자.

따라서 선적분은


식 (13)

이다.

마지막의 식 (13)을 보면

이므로 위의 선적분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서 보존장에서는 경로에 상관없이 시작점과 끝점이 일치하는 path들의 선적분은 같은 결과를 보여준다.

이것은 처음에 설명하였듯이 미분적분의 기본정리에 의한 것이라고 할 수 있다.