위너-킨친 정리

1. Random Process와 Fourier Transform

Continuous Time Fourier Transform(이하 CTFT)는 다음과 같이 정의된다.

where

이 때, Fourier Transform 가 존재할 수 있는 조건은 Dirichlet Condition이라고 불리며, 그 조건은 다음과 같다.

1) is absolutely integrable, that is,

2) has only a finite number of discontinuouties in any finite interval

3) has only finite number of maxima and minima within any finite interval

이 때, 우리가 궁금한 것은 왜 wide sense stationary 한 random process 는 Fourier Transform이 될 수 없는지이다. 이 문제는 random process의 Fourier Transform은 왜 Dirichlet Condition을 만족할 수 없는지에 대한 문제로 귀결될 수 있다. 이 문제에 대한 핵심은 Dirichlet Condition 1번에 있다.

일반적으로 Stationary random process는 시간에 따라 random process 의 pdf가 변하지 않는 것을 조건으로 하고 있다. 그 말은, random process 의 realization 역시 시간 에 따라 변하지 않는다는 것을 나타내며, 에 대해서 는 언제나 유한한 값을 가질 수 있다는 것을 의미한다. 그러므로, Dirichlet condition 1은 위반 될 수 있으며, 일반적으로 random process 의 Fourier Transform은 항상 존재하는 것은 아니다.

간단한 예를 들자면 다음과 같다. 다음과 같은 random process 를 생각해보자.

random process 의 random variable의 realization은 0 또는 1인데, 이고 인 random variable이 있다고 하자.

그렇다면 random process 는 에 대해서 매우 낮은 확률로 일 수 있다. 그러면,

이다. 이렇듯 간단한 예를 통해서도 random process의 Fourier Transform이 항상 존재하는 것은 아니라는 사실을 알 수 있다.

2. Power Spectral Density of a WSS process

※ WSS: Wide Sense Stationary

그렇다면, 위와 같은 문제를 해결해줄 수 있는 가장 간단한 방법은 무엇일까?

그것은 random process 축에 boundary를 지정해주는 것이다. 즉,

와 같이 를 놓고 생각해보는 것이다. 그 이후에, 라고 만들면 Power Spectrum을 추정할 수 있게 되는 것이다. Power Spectral Density of a Wide Sense Stationary process의 증명과정은 다음과 같다.

의 푸리에 변환은 다음과 같을 것이다.

여기서 Parseval 정리를 이용해 신호의 energy를 정의해보자.

또, 신호의 power는 신호의 energy에 신호 전체 길이를 나눠준 것이므로, 신호의 power는 다음과 같이 생각할 수 있다.

그러면, power의 기댓값은 다음과 같다.

여기서 는 주파수 에서 파워의 기댓값에 기여한 기여도라고 볼 수 있으며, 이것이 의 Power Spectral Density(PSD)를 의미한다.

따라서 우리는 Power Spectral Density를 다음과 같이 정의할 수 있다.

3. Autocorrelation과 Power Spectral Density의 관계

Autocorrelation과 PSD의 관계를 설명하는 이론은 Winer-Khinchin-Einstein 정리라고 불린다. 그 내용은 아래와 같으며 random process의 autocorrelation과 Power Spectral Density 간의 관계를 증명한다.

PSD의 식에서,


식 (15)


그림 1.

여기서 위의 식 (15)는 그림 1에서처럼 로 둘러싸인 정사각형 영역의 면적을 구하는 과정으로 볼 수 있다.

식 (15)를 보면 라는 식이 일괄적으로 들어가있기 때문에, 와 같이 치환해서 적분식을 풀어줄 수 있다.

라는 식은 잘 생각해보면 기울기가 1인 일차함수 중 하나임을 알 수 있는데, 결국 그림 1의 정사각형을 구하는 과정을 부터 까지 변해가면서 그림 1에 shade 표시한 띠의 미소 면적을 적분해주는 과정이라고 볼 수 있는 것이다. 따라서, 그림 1에 shade 표시한 미소 면적을 라고 한다면 식 (15)는 다음과 같이 쓸 수 있다.


식 (16)

여기서 를 구하면

이다. 이것은 두 삼각형의 넓이의 차를 이용해 구한 값이다.

따라서 식 (16)을 계속해서 쓰면,


식 (21)

여기서 가 적분가능하다면, 가 무한히 커지게 되면 식 (21)은 아래와 같다.

따라서 아래와 같은 관계를 확인할 수 있다.

앞서 언급했듯이 위 식의 좌변은 Power Spectral Density 라고 부른다. 따라서,

그리고, 역푸리에 변환을 이용하면

임 또한 생각해볼 수 있다.