Wold's theorem

※ Wold’s theorem은 위너-킨친 정리의 Discrete Time Random Signal 버전이라고 할 수 있다.

1. Discrete Time Random Signal의 Power Spectrum Density (PSD)

※ 해당 내용은 Richard Shiavi의 Introduction to applied statistical signal analysis, 3e.pp.203 - 205 의 내용을 옮겨 적은 것임.

Wide-sense stationary random signal의 푸리에 변환을 생각할 때의 가장 큰 문제점은 푸리에 변환이 존재하지 않는다는 것이다. 다시 말해 가 존재하기 위해서는 신호의 에너지가 유한해야 한다. 다시 말해 아래와 같은 식을 만족해야 한다는 뜻이다.

은 최소한 wide-sense stationary 하므로 모든 sample function의 energy는 양의 무한대로 발산하게 된다(Priestly, 1981)1. 실제로 평균 에너지 역시 양의 무한대로 발산하게 된다.

그런데, 평균 energy 대신에 평균 power는 유한한 양이므로 frequency transformation의 정의에 기반이 될 값으로 사용될 수 있을 것이다. 평균 파워는 다음과 같이 정의된다.

여기서, 주파수 변수를 위 식에 포함 시키기 위해 아래와 같이 을 정의하자.

여기서 Parseval’s theorem에 따라 다음이 성립한다.

의 sequence는 유한하기 때문에 위의 summation limits 는 에서 까지로 변경될 수 있다. 따라서 다음이 성립한다.

여기서 피적분함수를 power spectral density (PSD)라고 한다.


식 (9)

2. Wold’s Theorem의 증명

Wold’s theorem의 결과는 다음과 같다.


식 (10)

위의 식 (9)와 같은 의 정의를 이용해 이를 증명해보도록 하자.

식 (9)에서 극한 내의 값에 대해 조금 더 자세히 살펴보도록 하자.

DTFT의 정의에 의해 다음이 성립한다.

여기서 선형 연산자를 정리하면 다음과 같다.

Discrete time signal 이 wide-sense stationary 하다고 가정한다면 다음이 성립한다.


식 (13)

여기서 은 autocorrelation function이다.

이제


식 (14)

을 계산하는 방법에 대해 다음과 같이 생각해보도록 하자. 을 독립변수라고 생각해보자. 이 때, 은 다음과 같은 범위를 갖는다.

또한, 은 discrete 변수이고 interval은 1이다.

따라서, 아래의 그림처럼 식 (14)를 생각할 수 있다. 이 때, 각각의 점들은 의 값이 얼망리 때 대응되는 의 값이다.

즉, 아래 그림에서 검은 동그라미를 모두 그리지는 않았지만 <p align = "center"> </p>, 의 내부에 검은 동그라미가 모두 꽉 찬 상태가 될 것이다.

그리고 각 검은 동그라미에 해당되는 의 값을 모두 더한 것이 식 (14)를 구한 것과 같은 결과를 얻을 수 있게 되는 것이다.


그림 1.

이 때, 이라고 하면 가 되는 것이고 이것은 기울기가 1인 1차 함수가 된다. 그림에 따르면 의 범위는 이라는 것을 알 수 있다.

그리고 의 값이 에서 으로 변하는 동안 더해야 할 의 값을 확인해보면 다음과 같다.

따라서 모든 에 대하여 일 때 식 (14)의 값은 아래와 같이 표현할 수 있게 된다.

그러므로, 우리가 구하고자 하는 식 (13)은

이 된다.

따라서,

가 된다.

또한, DTFT의 정의에 따라

이다.

  1. 해당 내용에 대한 조금 더 구체적인 설명은 위너-킨친 정리의 내용을 참고