베르누이 미분방정식

이전 포스팅 1계 선형 미분 방정식의 해법 편에서는 아래와 같은 미분방정식의 해법을 찾는 방법에 대해 다룬 바 있다.


식 (1)

이번 시간에는 위 식 (1)이 약간 변형된 비선형 미분 방정식 중 하나인 베르누이 미분방정식의 해법에 대해 알아보고자 한다.

베르누이 미분방정식의 형태

베르누이 미분방정식의 형태는 아래와 같다.


식 (2)

여기서 는 우리가 분석하고자하는 구간에서 연속함수이고, 은 실수라고 하자.

만약 이거나 이면 선형미분 방정식이 되는 경우이므로 베르누이 미분방정식에서는 이거나 이 아닌 경우에 관심이 있는 경우라고 할 수 있다.

베르누이 미분방정식의 해법

베르누이 미분방정식의 해법의 핵심은 식 (2)의 비선형적인 방정식을 선형적인 형태로 바꿔주는 것이다.

이를 위해 식 (2)의 양변을 으로 나눠보자.


식 (3)

이제 식 (3)을 식 (1)과 유사한 형태로 바꿔주기 위해 식 (3)의 좌변에 있는 을 새로운 함수인 으로 바꾼다고 생각해보자.

여기서 확인해볼 수 있는 것 중 하나는 에 대해 미분한 결과인데, chain rule을 의 우변에 적용하면

이다.

따라서, 식 (3)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

다시 말하면, 베르누이 미분방정식에 치환을 적절히 적용하면 일반적인 1계 선형미분방정식으로 바꿔줄 수 있게 된다.

예제

여타 미분방정식처럼 예제 문제를 풀어보는 것이 베르누이 미분방정식의 해를 구하는 방법을 이해하는데 도움이 될 것으로 보인다.

문제 1

다음 미분방정식의 해를 구하여라.


식 (6)

풀이

주어진 식은 인 베르누이 미분방정식이다. 여기서 식 (6)의 양변을 로 나눠주자.

그러면,


식 (7)

이다.

여기서 라 두면,

이다. 그러므로 식 (7)은 다음과 같이도 쓸 수 있게 된다.

여기서 양변에 을 곱해주면


식 (10)

이다.

여기서부터는 1계 선형미분방정식의 해를 찾는 방법을 이용하여, 양변에 적분 인자 를 곱해주자.

이고, 이므로 적분인자는 이다.

따라서, 식 (10)의 양변에 를 곱해주면,


식 (11)

가 되고, 식 (11)은 다음과 같이 변형할 수 있다.

원래 라고 하였으므로,

이다.