2계 선형 미분방정식의 해법 (1)

Prerequisitess

본 포스팅을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.

2계 제차 선형 미분방정식

2계 선형 미분방정식이란 아래와 같이 미분계수의 최고 미분횟수가 2회인 미분방정식을 의미한다.

이번 시간에는 특별히 , , 가 모두 상수이고 인 2계 제차 선형 미분방정식에 대해 다루고자 한다.

다시 말해 우리가 다루고자 하는 미분방정식의 꼴은 아래와 같다.


식 (2)

여기서 는 0이 아니어야 한다.

선형 연립 미분방정식을 이용한 해법

우리는 사실 2계 제차 선형 미분방정식의 해법에 대해 다룬 적이 있다.

연립 미분방정식 모델링 편에서 damped harmonic oscillation을 다룰 때 이 해법을 언급한 적이 있다.

2계 제차 선형 미분방정식의 해법은 1차 미분계수 를 새로운 변수로 놓고 풀어주는 것이 핵심이다.

식 (2)와 같은 2계 제차 선형 미분방정식에 대해서 우리는 다음과 같이 생각할 수 있다.

만약,

와 같은 새로운 변수를 생각한다면,

이므로,

식 (2)는 다음과 같이 쓸 수도 있을 것이다.

다시 한번 에 대한 연립 미분방정식으로 이 과정을 풀어서 생각하면 다음과 같다.

그러므로 식 (2)의 2계 제차 선형 미분방정식은 다음과 같이 행렬의 꼴로 항상 나타낼 수 있다.


식 (8)

여러번 강조하는 것 같지만 식 (8)에서 는 0이 아니어야 한다.

여기서 알 수 있게 되는 것은 식 (8)을 풀게 됨으로써 2계 제차 선형 미분방정식의 solution을 얻어낼 수 있다는 것이다.

선형 연립 미분방정식으로 해를 구하는 것의 의미

선형 연립 미분방정식으로 만들어 2계 제차 미분방정식의 해를 구할 수 있다는 것은 위상 평면편 에서 보았던 것 처럼 식 (8)에 있는 행렬의 고윳값, 고유벡터를 이용하는 것이 solution을 구하는 연결고리가 된다는 점을 시사하기도 한다.

우리는 식 (8)에 들어있는 행렬의 고윳값, 고유벡터를 구해 연립 미분방정식의 솔루션을 구해보도록 하자.

식 (8)에 들어있는 행렬에 대한 특성방정식을 구해보면 다음과 같다.

여기서 2차 방정식의 근의 공식을 이용해 특성방정식의 해를 구하면 다음과 같음을 알 수 있다.

그리고 고유벡터를 구하면 다음과 같음을 알 수 있다.

따라서, 연립 미분방정식의 일반해 공식에 따라 솔루션을 써보면,

이다. 여기서 , 는 임의의 상수이며

이다.

우리는 2계 미분방정식을 풀 때 로 놓고 풀기 때문에 식 (16)의 부분 만을 얻어오면 그것이 2계 미분방정식의 solution이 되는 것이다.

그러므로 2계 제차 선형미분방정식의 솔루션 는 다음과 같다.

예시 문제

이론 설명만으로는 이해하기 어려울 수도 있으니 2계 제차 미분방정식 예시 문제를 직접 풀어보도록 하자.

아주 간단한 예시로 문제 풀이를 해보자. 아래의 2계 제차 미분 방정식의 해를 구해보자.


식 (19)

우리는 이 문제를 풀기 위해 2계 미분방정식을 연립 미분방정식으로 바꿔보자.

그러기 위해 다음과 같은 새로운 변수 를 생각해보자.

그러면

과 같은 관계를 얻을 수 있다.

따라서, 우리는 아래와 같은 연립 미분방정식을 도출할 수 있게 된다.


식 (23)

이제 우리는 식 (23)에 있는 행렬의 고윳값과 고유벡터를 얻어보도록 하자.

고윳값, 고유벡터의 정의에 따라, 고유벡터가 라고 하고 고윳값이 라고 했을 때 다음 식을 만족해야 한다.

모든 항을 왼쪽으로 이항하면,


식 (25)

가 영벡터가 되지 않기 위해선 식 (25)의 행렬이 역행렬을 가지면 안되기 때문에 아래의 조건을 만족해야 한다. (이것을 특성방정식이라고도 부른다.)


식 (26)

따라서, 고윳값은

이다.

각 고윳값에 해당하는 고유벡터를 찾아보면, 식 (25)로부터

인 경우,

또, 인 경우,

따라서, 식 (23)의 일반해는

이다.

그러므로, 식 (19)의 일반해는

이다.

참고로 식 (23)에 대한 위상평면을 그려보면 다음과 같다. 굵은 검은색 선은 고유벡터를 따라가는 직선이다.


그림 2. 식 (23)의 연립 미분방정식에 관한 위상 평면. 굵은 검은색 선은 고유벡터를 따라가는 직선임.