미정계수법

Prerequisites

본 포스팅의 내용을 더 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.

미정계수법 소개

미정계수법(method of undetermined coefficients)은 비제차 상미분방정식을 푸는 방법 중 하나다.

일반적으로 상수 계수를 갖는 상미분 방정식을 풀 때 사용하면 잘 풀리는 방법으로 알려져 있다.

가령 아래와 같은 미분방정식을 생각해보자. (이 식은 비제차 미분방정식의 의미 편의 식 (9)와 같다.)


식 (1)

우리는 비제차 미분방정식에 대해 성립하는 solution 가 다음과 같이 대입했을 때 성립한다는 것을 알고 있다.

미정계수법의 아이디어는 particular solution을 미분하고 선형 결합한 결과는 particular solution의 형태와 유사할 것이라는 것이다. 다시 말해, 다항함수를 미분하면 다항함수가 나오고, 지수함수를 미분하면 그대로 지수함수가 나오는 등의 현상을 이용한 아이디어이다.

즉, 식 (1)과 같은 미분방정식의 particular solution은

의 형태를 띌 것이라고 가정하는 것은 타당한 가정이라고 할 수 있다.

미정계수 테이블

식 (1)의 와 같은 비제차 항은 여러가지 형태가 나올 수 있는데 보통 다항식, 삼각함수, 지수함수의 꼴로 나온다면 아래와 같이 미정계수를 정해 particular solution을 가정하여 풀이를 시도해볼 수 있다.


그림 1. 미정계수법을 이용 시 적용할 수 있는 particular solution의 형태
그림 출처: Advance Engineering Mathematics, Dennis G. Zill, 6th ed., Jones & Bartlett Learning

여기서 의 형태가 그렇게 다양하지 않다는 점이 보일 수도 있다.

다시 말해, 미정계수 방법을 이용할 때에는 비제차 항이 다항함수, 사인함수, 코사인 함수, 지수함수 혹은 이들의 선형결합일 경우에만 적용할 수 있다. 이 외의 비제차 항에 대해서는 매개변수 변환법을 이용해야 한다.

예제 문제 풀기

예제 문제 1

미정계수법을 이용해 간단한 예제를 한번 풀어보도록 하자.

가령 식 (1)의 경우 particular solution의 꼴을

와 같이 두고 문제를 풀어볼 수 있다.

2계 선형미분방정식의 해법(2) 편에서 본 내용을 적용하면 비제차 미분방정식의 완전해는 homogeneous solution과 particular solution의 합이다.

식 (1)의 homogeneous solution은 다음과 같이 풀 수 있다.

식 (1)의 제차미분방정식 형태는 다음과 같다.

여기서 라고 가정하여 대입하면,

로 식을 묶어주면,

는 항상 양수이므로,

이고

이다.

따라서, homogeneous solution은

이다.

그러면 homogeneous solution에 particular solution을 합친 것을 일반해라고 볼 수 있으므로 우리의 일반해는 아래와 같은 형태가 될 것이다.

한편, particular solution은 원래의 식 (1)의 미분방정식에 대입해도 성립해야 하므로,

라는 관계를 이용해 원래 식 (1)에 대입하면,

따라서 이고 이므로,

와 같다. 따라서, 식 (1)의 일반해는

이다.

예제 문제 2

아래의 미분방정식의 particular solution을 찾으시오.

이 문제를 보면 particular solution의 꼴을 라고 설정할 수 있지만 를 여러번 미분하다보면 뿐만 아니라 의 꼴도 함께 얻어지게 된다는 것을 생각해볼 수 있다.

따라서, 우리는 particular solution의 형태를 다음과 같이 생각할 수 있다.

이제 를 미분하고 원래 주어진 미분방정식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

따라서,

이다.

따라서,

이다.

따라서, particular solution은

이다.

예제 문제 3

아래의 미분방정식의 particular solution을 찾으시오.

이번 문제는 약간 독특한데, 만약 우변에 있는 형태 그대로 particular solution을 라고 상정해보면 문제가 풀리지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있다.

실제로 대입해보면,

이므로 와 같은 이상한 결과를 얻게 되어서 기존의 미정계수법으로는 문제를 풀 수 없음을 알 수 있다.

이렇게 문제가 풀리지 않는 이유는 주어진 미분방정식의 제차 꼴의 미분방정식의 기저해 중 하나가 이기 때문이다.

우리는 reduction of order 편에서 봤던 내용과 유사하게 와 선형독립인 새로운 기저 를 particular solution의 기저해로 잡고 문제를 풀어보자.

따라서,

이고

임을 알 수 있으며, 원래의 미분방정식에 대입하면,

와 같다는 것을 알 수 있다.

따라서,

임을 알 수 있다.