스트룸-리우빌 이론

이번 포스팅은 University of Washington의 Nathan Kutz 교수님 강의를 참고하여 작성한 것임을 미리 밝힙니다.

Prerequisites

이번 포스팅의 내용에 대해 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.

스트룸 리우빌 이론 소개

스트룸 리우빌 이론(Sturm-Liouville theory)1은 2계 선형미분방정식의 해를 얻고 이 해의 특성을 이해하기 위한 이론이다. (포스팅에서는 줄여서 S-L 이론이라고도 부르고자 함)

특히, 2계 선형미분방정식을 연산자(operator)의 관점에서 봄으로써 해를 구하고자 하는 시도에서 출발한다. 이 이론이 의미있는 이유는 아무리 복잡한 2계 미분방정식이더라도 S-L 이론의 관점에서 문제를 보면 그 문제들을 다르게 해석해볼 수 있기 때문이다.

선형 연산자 에 대해 아래와 같은 꼴을 띄는 방정식은 스트룸 리우빌 이론으로 해석할 수 있다.


식 (1)

여기에 아래와 같은 경계 조건이 주어져야 한다.


식 (2)


식 (3)

여기서 값들은 다음과 같은 성질을 만족하는 상수이다2.


식 (4)


식 (5)

조금 더 구체적으로 선형 연산자 은 아래와 같이 주어지는 것이며 이 연산자를 스트룸 리우빌 연산자(Sturm-Liouville Operator)라고 부르자.


식 (6)

여기서 의 구간에서 보다 큰 함수여야 한다.

2계 선형미분방정식과의 관계

스트룸 리우빌 연산자와 스트룸 리우빌 이론을 적용 시키기 위한 방정식의 꼴은 매우 생소해보인다.

하지만, 이 연산자를 적용해 방정식을 풀면 일반적인 2계 선형미분방정식을 다른 방법으로 적은 것이라는 것을 알 수 있다.

여기서 순서만 약간 정리해주면,

와 같다는 것을 알 수 있으며, 이것은 일반적인 2계 선형 미분방정식의 꼴임을 쉽게 알 수 있다.

즉, 스트룸 리우빌 문제는 일반적인 2계 선형미분방정식 중 가 0보다 큰 함수여야 한다는 조건과 특정한 경계 조건을 만족하는 2계 미분방정식의 해를 구해내기 위해 정립된 이론으로 생각할 수 있는 것이다.

다만, 원래의 스트룸 리우빌 이론의 방정식 꼴을 띄게 이론을 구축한 이유는 많은 문제가 스트룸 리우빌 이론의 방정식과 같은 형태로 방정식이 주어지기 때문이다.

S-L 연산자는 self-adjoint 연산자이다.

생소한 개념들이 계속해서 등장하고 있을 것으로 생각된다.

self-adjoint란 것은 또 무엇일까?

선형 연산자와 함수 공간 편에서 확인했던 것과 같이 adjoint 라는 것은 선형대수학에서 행렬의 transpose에 대응되는 개념이라고 언급한 바 있다.

일단 adjoint에 대해 잠깐 복습해보자.

에 대해 정의된 함수 , 의 내적을 아래와 같이 정의하자.

여기서 표기는 함수에 대해 complex conjugate을 취해둔 것이다.

그러면 어떤 선형연산자 에 대한 adjoint 는 다음과 같은 성질을 만족해야 한다.

다시 말해 self-adjont인 연산자란 인 연산자를 말한다.

그러므로 다음과 같은 성질을 만족해야 한다.

이러한 연산자들은 마치 선형대수학에서 대칭 행렬(symmetric matrix) 혹은 에르미트 행렬(Hermitian matrix)의 개념에 대응된다.

이제 S-L 연산자가 self adjoint 연산자임을 확인해보자.

부분 적분을 이용하면

또, 마찬가지로,

마찬가지로 부분적분을 이용해,

이다.

이 때, 인지 여부를 확인해보자.

여기서 는 Wronskian이다.

이 때, 잘 생각해보면 일 때나 일 때나 항상 0이다. 왜냐하면, 식 (2)의 경계조건(즉, 인 경우)을 함수 에 대해 얻은 두 조건을 행렬로 표현해보면 다음과 같은데

여기서 위 식의 왼쪽에 있는 행렬이 역함수를 가지게 되면 , 은 모두 0이 되므로 식 (4)의 조건을 어기게 되는 것이다. 그 뿐만 아니더라도 이 모두 0이면 아무런 의미없는 경계조건이 되는 것이므로 가 0이 되어야 함은 자명하다고 할 수 있다. 마찬가지 방법으로 에 대해서도 위의 방법은 성립한다.

따라서, 임을 알 수 있다.

그러므로 S-L 연산자 은 self-adjoint 연산자임을 알 수 있다.

스트룸 리우빌 이론의 고윳값 문제

S-L 연산자의 고윳값, 고유함수 문제를 다루기에 앞서 우리는 구간 에서 정의되는 복소함수 , , 에 대해서 아래와 같은 내적 연산을 정의하자.

여기서 는 weighting function이라고 부른다. 많은 경우에 인데 그렇지 않은 일반적인 경우까지 포함하기 위해 위와 같은 형태의 내적을 정의한다고 보면 좋을 것 같다. 인 경우의 함수의 내적은 다음과 같이 쓰도록 하자.

또, 직교성에 대한 표현을 쉽게 하기 위해 다음과 같은 Kronecker Delta 함수 표기를 생각하자.

여기서 인 경우만 1이고 나머지 경우는 0인 함수를 의미한다.

이제 S-L 연산자 에 대해 다음과 같은 식을 생각해보자.

여기서 에 대한 함수이고 고윳값 에 대응하는 고유함수라는 것을 생각해볼 수 있다.

이 식의 우변이 가 곱해진 형태로 주어진 것은 원래의 Sturm-Liouville 이론에서 주어진 방정식의 우변의 형태에 맞춰진 것이다.


한편, 우리는 앞서 Sturm-Liouville operator가 self-adjoint operator라는 것을 확인했다.

self-adjoint operator는 잠깐 언급했듯이 선형대수학에서 에르미트 행렬(Hermitian matrix)의 개념을 확장시킨 것이라고 할 수 있다.

고유함수 전개 편에서 에르미트 행렬을 소개한 바 있었는데, 에르미트 행렬의 가장 중요한 특징은 에르미트 행렬의 고윳값은 모두 실수이고 서로 다른 고윳값에 대응되는 고유벡터들이 모두 직교한다는 것이었다.

마찬가지로 self-adjoint operator 역시도 고윳값, 고유함수를 가진다. 그리고 self-adjoint operator의 고윳값은 모두 실수이며, 고윳값들이 서로 다르면 고유함수들이 직교한다.

그런데 혹시 S-L 이론에서는 고윳값들이 모두 다르다(distinct)는 것을 보장받을 수만 있다면 S-L 연산자의 모든 고유함수들은 서로 직교할 수 있다. 과연 S-L 연산자의 고윳값들은 모두 distinct하다고 할 수 있을까?

정답은 “그렇다”이다. 식 (2)~식(5)의 조건을 만족하는 S-L 연산자라면 고윳값이 모두 distinct하고 서로 다른 고유 함수가 직교하는 특성을 갖는다. 이에 대해서는 스트룸의 분리 정리, 스트룸의 비교 정리, 스트룸의 진동 정리를 통해 증명할 수 있다고 하는데, 아직 필자의 수학적 지식이 부족한 탓에 자세히 이해하기는 어려워 증명은 스킵하고자 한다. 자세한 내용은 전파거북이 님의 포스팅을 참고해보자.


지금까지의 내용을 종합하여 S-L 연산자가 self-adjoint 연산자이고 모든 고윳값이 distinct 하다는 것을 바탕으로 생각하면 S-L 연산자는 다음과 같은 성질을 가진다는 것을 알 수 있다.

  • S-L 연산자의 고윳값은 모두 실수이고, distinct해서 다음과 같이 나열할 수 있다.

  • 위 고윳값에 대응되는 고유함수들은 모두 실수 함수이며, 아래와 같이 서로 직교한다. 구간 에서 정의된 서로 다른 고유함수 , 에 대해,

  • 두 번째 고유함수에 관한 성질에 의해 고유함수들은 구간 에서 weighting 함수 와 함께 정의되는 힐버트 공간(, 쉽게 말해 함수 공간으로써 함수가 무한 차원 공간의 점으로 해석될 수 있게 해줌.)의 직교 기저를 구성하게 된다.

핵심적인 것은 S-L 연산자의 고유함수가 힐버트 공간의 직교 기저를 구성한다는 것인데, 이 성질에 의해 구간 에서 정의된 식 (1)의 솔루션 함수 는 고유함수의 선형결합으로 표현될 수 있다.

같은 방법으로 식 (1)의 forcing function인 도 고유함수의 선형결합으로 표현할 수 있다.

이 방법은 고유함수 전개 편에서 본 내용과 크게 다르지 않다. 이번에는 스트룸 리우빌 문제에 적용하는 것만이 유일한 차이라고 할 수 있다.

고유함수들의 orthogonality, , 를 적용하기 위해서 를 구하는 것 보다 로 나눈 식에 대해 고려해보자. 아래와 같은 식을 생각해보자.


식 (31)

여기서 의 값을 특정하기 위해 아래와 같이 내적 연산을 취해보자.

우변의 식에서 이라는 관계에 의해 summation이 취해질 때 인 경우에만 한해서 이고 나머지의 경우는 모두 0이다. 따라서,

즉, 은 아래와 같이 계산될 수 있는 것이다.


식 (35)

다시 솔루션 함수의 고유함수 전개로 넘어와서,

원래의 식 (1)의 를 고유함수의 선형결합을 이용해 다음과 같이 표현할 수 있다.

연산자 은 선형 연산자이므로 summation 안으로 집어넣으면,

여기서 은 고윳값을 이용해 다음과 같이 쓸 수도 있다.

여기서 에 대한 내적 연산을 취해주면,

여기서 우변의 을 좌변으로 옮겨서 식을 약간만 정리해주면,

과 같이 쓸 수 있게 된다.

결국 우리는 을 구해서 솔루션 함수를 표현해주는 것이 목표이다. 여기서 이 적절히 존재해야지만 솔루션이 존재한다고 할 수 있다. 따라서 위 식을 보면 다음과 같은 조건에 따라 해의 존재 형태를 알 수 있게 된다.

  • Case 1:

  • Case 2: , 해가 존재하지 않음

  • Case 3: , 유일해가 아님 (null space가 0 벡터가 아닌경우)

거의 대부분의 경우는 Case 1을 따르기 때문에 솔루션 함수는 다음과 같이 쓸 수 있게 된다.

예제 문제

2계 비제차 미분방정식

아래와 같은 2계 비제차 미분방정식을 Sturm Liouville 이론의 관점에서 풀이하시오.

여기서 에서 정의되며 경계조건은 다음과 같다.

풀이

이 문제를 스트룸 리우빌 형식으로 바꾸면 다음과 같이 쓸 수 있다.

다시 말해, 원래의 식 (1)과 식 (6)의 관점에서 보면 , , , , 인 아주 간단한 형태의 스트룸 리우빌 문제라고 볼 수 있다.

여기서 , 라고도 볼 수 있지만, 관점의 문제일 뿐이다는 점은 약간의 팁(?)이다.

이 식의 고윳값 문제는 다음과 같은데,

이 고윳값 문제의 일반해는 다음과 같다.

이라는 경계 조건을 만족하기 위해선 이 되어야 하므로 고유함수는

라고 쓸 수 있다.

또 다른 경계조건인 라는 조건을 만족하기 위해 를 구해보면,

이므로,

이어야 한다. 여기서 은 0이 되면 안되므로(trivial solution이 나오기 때문에),

고윳값은 다음의 조건을 만족하는 값들이어야 한다.

여기서 양변을 으로 나눠주면,

을 만족하는 이 고윳값들이다.

위 방정식의 해를 얻기 위해선 함수와 함수가 만나는 지점을 찾아야 한다.

일반적인 방법으로는 해를 얻기 힘들고 컴퓨터를 이용해 해를 구하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.


그림 1. tan(x)+x=0의 솔루션위 의치

그러면 위의 값들이 에 대응되는 값임을 알 수 있다.

이 때 각 고윳값들에 대응되는 고유함수 이 되도록 정규화하면 은 다음과 같이 수정할 수 있다..

따라서, 우리는 이 고유함수를 이용해 를 표현할 수 있게 된다.

그를 위해 먼저 을 계산해보면,

와 같다. 따라서,

이고,

과 같이 쓸 수 있음을 알 수 있다.

이 결과들은 다소 복잡해 보이지만 아래와 같이 영상으로 보면 그 의미를 더 쉽게 이해할 수 있다.

는 일반적인 비제차미분방정식의 해를 구하는 방법을 통해

라는 것을 쉽게 알 수 있는데, 를 위에서 구한 고유함수의 선형결합으로 표현한 것과 비교하면 다음과 같이 수렴해가는 것을 알 수 있다.


그림 2. 고유함수의 선형결합으로 u(x)를 approximate 해가는 과정

더 신기한 것은 라는 함수도 고유함수의 선형결합으로 표현해줄 수 있다는 점이다.

이 개념이 더 확장된 것이 푸리에 급수이다. 푸리에 급수는 임의의 주기함수를 삼각함수의 합으로 표현해준다.

푸리에 시리즈가 수학적으로 흠결없이 작동할 수 있는 데에는 이러한 깊은 배경지식이 자리하고 있는 것이다.


그림 3. 고유함수의 선형결합을 이용해 f(x)를 approximate 해가는 과정

푸리에 급수

푸리에 급수는 아래의 스트룸 리우빌 문제를 해결하는 과정에서 등장하는 급수라고 할 수 있다.

아래와 같은 단순한 선형 연산자를 생각해보자.

이 연산자는 식 (6)에 대해 , 인 경우이며 인 경우라고 상정해 다음과 같은 고윳값 문제를 생각해보자.

여기서 이다.

또, 경계값 조건은 다음과 같이 주어주자.

이 고윳값 문제의 해는 다음과 같이 단순히 정현파의 결합으로 주어질 수 있다.

여기서 경계조건 중 을 대입하면,

임을 알 수 있고, 경계조건 중 을 대입하면,

을 만족해야 하는데 는 0이 아닌 값이어야 고윳값 문제의 솔루션 고유함수가 trivial solution이 아니게 된다. 따라서 고윳값은

이며 고유함수는

이다.

여기서 로 만들어주기 위해 다음을 확인해보자.

따라서, 로 만들어주기 위해서는 다음과 같이 고유함수의 형태를 수정하자.

여기서 이다.

이제 이 연산자 을 이용해 다음과 같은 비제차 미분방정식을 푼다고 가정하자.

마찬가지로 경계조건은 <p align = "center"> </p>으로 주어진다고 가정하자.

식 (31)의 결과에 따라 는 다음과 같이 고유함수의 선형결합으로 표현해줄 수 있다.

그리고 은 식 (35)와 같이 구해줄 수 있다.

그러므로 는 삼각함수의 선형결합으로 다음과 같이 표현해줄 수 있게 된다.


그림 4. 연산자 고유함수의 선형결합을 이용해 를 approximate 해가는 과정 (푸리에 sine 시리즈와 동일)

베셀 미분방정식(Bessel equation)

스트룸 리우빌 이론의 또 다른 묘미는 스트룸 리우빌 이론을 여러가지 특수 미분방정식에 대해 적용해 볼 때이다.

손으로 쉽게 풀기 어려운 여러가지 특수 미분방정식을 스트룸 리우빌 형태로 나타낼 수 있다는 것을 확인함으로써 이 미분방정식의 해는 쉽게 구하는 것은 어렵지만 이 해가 가지는 특성들이 어떤 것인지 알 수 있게 해주는 것이다.

가령, 베셀 방정식은 아래와 같은 형태이다.

베셀 방정식을 스트룸 리우빌 꼴로 나타내면 다음과 같다.

르장드르 방정식

르장드르 방정식은 아래와 같은 꼴이다.

르장드르 방정식도 아래와 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

  1. 이름이 심지어 정리(theorem)가 아닌 '이론(theory)'이다. 이 이론을 따르는 수 많은 적용 사례들이 있음을 시사한다. 

  2. 이 조건이 만족할 때를 regular S-L 문제라고 하는데, 너무 깊게는 들어가지 말자.