크래머 공식의 기하학적 의미

행렬식의 성질

크래머 공식을 잘 이해하기 위해선 아래의 몇 가지 행렬식의 성질을 잘 이해하고 하면 좋다.

  • 행렬식은 각 열벡터로 구성된 평행사변형의 넓이와 같은 의미를 갖는다.

가령 임의의 행렬

에 대해 각 열들을 , 라고 한다면 는 아래의 평행사변형의 넓이와 같다.


그림 1. 행렬식의 값은 , 벡터로 구성된 평행사변형의 넓이와 같다.

따라서, 평행사변형을 구성하는 벡터가 평행이라면 이 평행사변형의 넓이는 무조건 0이 된다.

다른 말로는 행렬 의 열벡터가 모두 선형독립이 아니라면 평행사변형의 넓이는 0이 되고 역행렬을 가지지 않는 행렬이 된다.

  • 행렬 의 하나의 열이 배 되면 행렬식의 값도 배 된다.

다시 말해 행렬식은 아래와 같은 성질을 만족한다.

이것은 그림 1에서 평행사변형의 변 중 하나가 배 된 경우를 상상해보면 이해하기 쉽다.

  • 등이 열벡터이고 는 스칼라라고 하자. 이 때, 를 이용해 열벡터를 묶은 행렬을 표현할 때, 행렬식은 아래와 같은 결과를 만족한다.

크래머 공식

크래머 공식은 아래와 같은 방정식의 해를 얻을 때 사용할 수 있는 공식이다.

임의의 사이즈의 행렬 사이즈의 벡터 이고 라고 할 때,

가 성립할 때, 솔루션 의 각 원소

와 같이 정해진다는 공식이다.

여기서 는 행렬 번째 열을 벡터로 치환한 행렬이다.

다시 말해 아래와 같은 <p align = "center"> </p>라는 식에서,

벡터 번째 원소 는 다음과 같이 정해진다는 것이다.

공식의 증명

행렬 는 아래와 같이 개의 열벡터를 양 옆으로 쌓아둔 것과 같다고 할 수 있다.

그리고, 행렬의 열 notation을 이용해 <p align = "center"> </p>는 다음과 같이도 쓸 수 있다.

의 각 열을

이라 하고 의 각 원소를 , , , 이라 할 때,

과 같이 쓸 수 있는 것이다.


번째 열을 벡터로 대체한 행렬을 라고 부르자. 다시 말해,

와 같은 행렬을 생각하는 것이며 이 때 번째 열에 대입된 것이다.

이것을 표기의 편리함을 위해 아래와 같이 줄여서 쓰도록 하자.

이 표기 역시 번째 열에 벡터가 대입된 것이다.

그럼 여기서 의 행렬식을 계산해보자.

여기서 과 같으므로,

행렬식의 성질에 의해,

행렬을 이루는 열벡터 중 선형독립이 아닌 열벡터가 존재하는 경우 행렬식의 값은 0이다.

따라서, 위 식은 인 경우에만 0이 아니고 나머지 경우는 모두 0이 된다.

그러므로,

그런데 행렬은 기존의 행렬과 동일하므로 위 식은

이다.

따라서, 원래의 식과 비교해보면

이므로,

임을 알 수 있다.

기하학적 의미

Prerequisites

크래머 공식의 기하학적 의미를 알기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.

기하학적 해석

크래머 공식의 기하학적 의미는 행렬식이 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같다는 점과 평행사변형의 넓이는 밑변 x 높이로 계산할 수 있다는 사실 두 가지만으로 기하학적 의미를 해석할 수 있다.

아래와 같은 아주 간단한 행렬, 벡터의 곱을 생각해보자.

행렬 곱에 대한 또 다른 시각 편에서 열공간을 기반한 해석 파트를 보면 위의 행렬과 벡터의 곱은 다음과 같이도 쓸 수 있는 것이다.

이것을 그림으로 표현하면 다음과 같다고 할 수 있다.


그림 1. 식 (18)의 행렬 벡터 곱을 그림으로 표현한 것

이 때, 우리는 세 개의 평행사변형을 관찰해보도록 하자.

첫 번째는 식 (16)의 행렬 의 각 열 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형이다.


그림 2. 식 (16)의 행렬 의 열벡터로 구성되는 평행사변형

이 평행사변형의 넓이는 행렬식의 기하학적 의미 편에서 보았던 것 처럼 행렬식의 값으로 표현할 수 있다.

두 번째 볼 평행사변형은 아래와 같이 를 곱한 벡터와 의 두 열벡터로 구성되는 평행사변형이다.


그림 3. 를 곱한 벡터와 의 두 열벡터로 구성되는 평행사변형

이 평행사변형의 넓이를 계산해보면 다음과 같다는 것을 쉽게 알 수 있다.

그림 3에서 관찰하는 이 평행사변형은 그림 2에서 보았던 평행사변형의 넓이에서 배 만큼 커진 것으로 볼 수 있다.

혹은 위 식에서 행렬식의 특성에 의해 다음과 같이 쓸 수도 있다.

한편, 세 번째로 관찰해볼 평행사변형은 아래의 그림 4와 같다.


그림 4. 벡터와 벡터로 구성된 평행사변형

그림 4의 평행사변형의 넓이는 행렬식을 이용해 다음과 같이 쓸 수 있다.

그런데 재밌는 점은 그림 3의 평행사변형과 그림 4의 평행사변형의 넓이는 같다. 왜냐면 밑변의 길이는 변화가 없고, 두 평행사변형의 높이도 같기 때문이다.

따라서,

와 같이 쓸 수 있으므로,

와 같다는 것을 알 수 있다. 이것은 에 대해서도 같은 방법으로 확인할 수 있다.

그리고, 마지막으로 이 결과는 크래머 공식과 같다는 것을 알 수 있다.