선형 시불변(LTI) 시스템

지금껏 우리는 정현파 기초, 복소수 기초, Phasor에 대해 다루면서 ‘신호의 표현’에 대해 다루었다고 할 수 있다.

지금부터는 가장 기초적인 시스템 특성인 선형성과 시불변성에 대해 알아보고자 한다. 이 두 특성을 동시에 가지는 시스템을 선형 시불변(Linear Time-Invariant) 시스템이라고 부른다.

Prerequisites

이 포스팅을 더 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.

아래의 내용은 알고 계시면 좋지만 꼭 몰라도 전체 내용에는 지장 없을 선행 지식입니다.

어떤 신호라도 정현파의 조합으로 표현할 수 있다.

신호 시스템을 공부함에 있어 가장 핵심 포인트를 하나 꼽으라면 “어떤 신호라도 정현파의 조합으로 표현할 수 있다”는 말이다.

우리는 이 말에 대해서 점점 더 공부해가게 될 것이다. 당장은 이해하기 어려울 수 있지만, 예시를 확인해가면서 조금씩 익숙해져보자.

참고로 이 말을 수학적으로 증명하는 것은 매우 어렵기 때문에 깊이 이해하려 하기 보다는 받아들이는 편이 낫다.

아래의 그림을 보면 사각파를 정현파의 조합으로 어떻게 표현할 수 있는지를 나타내었다.


그림 1. 사각파를 정현파로 분해하여 표현한 그림
출처: Rala Sun Blog

신호의 범주는 단순 사각파에서 그치지 않고 그림마저도 포함된다. 그림도 2차원 평면 상에 그려지는 신호로 볼 수 있기 때문인데, 2차원 평면 상의 신호라도 다양한 주기의 원을 이용해 표현할 수 있다.


그림 2. 어떤 신호라도 정현파의 조합으로 구성해낼 수 있다.
출처: @gfycat by spolanski

그럼, 어떤 주파수를 가지는 정현파들을 얼마나 조합할것인가? 라는 질문이 생길 수도 있지만, 이것에 관해서는 “푸리에 시리즈”나 “푸리에 변환” 편에서 더 자세하게 알아보고,

지금 말하고자 하는 핵심 포인트는 “어떤 신호라도 정현파의 조합으로 표현할 수 있다”는 점이다1.

이제 임의의 신호를 아래의 그림처럼 쪼개서 생각해보자.

신호는 시간에 따른 변화 뿐만 아니라 주파수 성분별로도 구별할 수 있다고 보자는 것이다.


그림 3. 임의의 신호를 주파수 성분별로 생각하면, 시간 축, 주파수 축의 여러 요소로 분해해 볼 수 있다.

어떻게 생각하면 가로 줄 한 줄짜리로 생각했던 신호가 사실은 하나의 테이블로 구성되는 것이라고 생각할 수도 있는 것이다. 그리고, 가로, 세로 축은 시간과 주파수 축을 의미한다고 볼 수 있는 것이다.

신호 처리 서론에서는 시스템(system)이란 입력 신호를 받고 출력 신호를 내보내는 함수와 유사한 것이라고 한 바 있다.

그리고, 출력 신호는 입력 신호를 특정한 “규칙”으로 변형해 내보내게 된다.

만약 신호가 주파수, 시간의 두 축을 가지는 테이블로 표현되는 것이라고 한다면, 이 “규칙”이 어떤 시간, 어떤 주파수 성분에 대해 동일하게 적용되지 않는다면 연산이 굉장히 복잡해질 것임은 뻔하다.

다시 말해, 단순한 시스템은 시간의 변화에 따라 불변하는 것이어야 한다.

또, 각 주파수 성분별로 쪼개서 동일한 “규칙”을 적용해볼 수 있어야 단순한 시스템이다. 즉, 각 주파수 성분별로 “규칙”을 적용해 합치는 것이 이미 합쳐진 신호에 “규칙”을 적용한 것과 차이가 없어야 한다.

단순한 것이 최고다. 글도 어렵게 쓰는 것보다 쉽게 쓸 수 있어야 하고, 어렵고 복잡한 설명보다는 단순하게 설명하는 것이 더 프로페셔널 한 것이라고 생각한다.

그런 의미에서 시스템도 단순한 것 부터 공부하기 시작한다. 이렇게 “단순한” 시스템을 선형-시불변 시스템(Linear Time-Invariant system)이라고 부른다.

선형-시불변 시스템(Linear Time Invariant System)

시불변성

시간이 바뀌면서 시스템이 바뀌어 버리면 시스템이 복잡해진다. 매 시간 포인트마다 다른 시스템을 생각해야 하는 것이니 말이다.

시불변성은 다음과 같이 표현할 수 있다. 입력이 만큼 지연되었을 대 출력도 같은 정도로 지연된다면 시불변 시스템이라고 할 수 있다.

시스템의 시불변성을 체크해보기 위해서는 입력 신호에 delay를 먼저 걸고 system을 통과시켜 본 결과와 입력 신호를 시스템에 통과 시킨 후 delay를 걸어줘서 얻은 결과를 비교해보면 된다.


그림 4. 시불변 특성을 검사하기 위해 수행할 수 있는 테스트의 모식도

가령, 아래와 같은 시스템을 생각해보자.

이 시스템이 시불변 시스템인지 보기 위해서 다음 두 가지를 확인해보자.

여기서 이므로 이 시스템은 시불변 시스템이다.

반면에 아래와 같은 시스템을 생각해보자.

이 시스템이 시불변 시스템인지 확인하기 위해 다음 두 가지를 확인해보자.

여기서 이므로 이 시스템은 시불변 시스템이 아니다.

선형성

앞서 설명했던 바와 같이 신호 내 성분별로 시스템이 다르게 적용되어야 하면 시스템이 복잡해진다. 따라서, 선형성을 만족하는 시스템을 이용하면 시스템을 적용시키는 연산을 단순화시킬 수 있다.

선형성은 다음과 같이 정의된다. 이고 이라고 했을 때 다음이 성립하면 선형적이다.

선형성이 성립하는 시스템에서는 신호 내에 있는 신호 성분별로 시스템을 각각 적용해 상수배해주어 합해주는 것이 가능해진다. (어렵게 말하면 중첩의 원리라고도 부른다.)

그렇기 때문에 모든 주파수에 대해 한번에 다루지 않고 각 주파수 별로 다루는 방법에 대해 충분히 익혀야 한다. (Phasor는 하나의 주파수에 대한 처리를 취급하는 방법이다.)

또, 위 식을 잘 생각해보면 인 경우에는

이고, 상수 하나만 이용하면,

이다. 이것은 벡터의 기본 연산(상수배, 덧셈)을 써놓은 것과 같다는 것을 알 수 있다.

따라서, 선형성이 성립한다는 말은 신호를 벡터로 볼 수 있다는 말과도 같다.

또, 선형성이 성립하는 시스템은 선형 변환으로 볼 수 있다.


그림 5. 선형성을 검사하기 위해 수행할 수 있는 테스트의 모식도

선형시스템 판별에 대해 예를 들어 <p align = "center"> </p>과 같은 시스템을 생각해보자.

이 시스템이 선형적인지 판별하기 위해 아래의 두 함수를 생각해보면,

이 두 함수가 다르다는 것을 알 수 있으므로, 제곱 시스템은 비선형 시스템이다.

LTI 체계의 유용성

결국 Linear 시스템을 이용하면 신호를 벡터처럼 다룰 수 있고, 시스템을 선형 변환처럼 다룰 수 있게 된다.

그리고, Time-Invariant 시스템을 이용하면 모든 시간 point에 대해 동일한 시스템을 이용해 변환을 적용할 수 있게 되니 계산이 전체적으로 편리해진다.

이 말은 선형대수학에서 사용되는 개념들을 신호/시스템 분야에 확장할 수 있다는 의미가 된다. 이러한 개념은 벡터 공간의 개념을 신호 공간(signal space)으로 확장할 수 있게 만드는 기초가 된다.

  1. 왜 꼭 정현파여야만 하나요?라고 물어볼 수도 있다. 아주 좋은 질문. 꼭 정현파일 필요는 없다. 다만, 무수한 정현파들의 조합으로 거의 모든 신호들을 표현할 수 있다는 것이다. 다시 말해 충분 조건이다. 그 말은 정현파 세트가 아닌 다른 형태의 “충분히 좋은 신호 세트들”을 이용할 수도 있다는 뜻이다. 이러한 관점의 전환은 푸리에 변환을 “웨이블렛 변환”이라는 개념으로 확장시킬 때 이용될 수 있다.