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Prerequisites 이 포스팅의 내용에 대해 잘 알기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 2계 선형 미분방정식의 해법 (2) 오일러-코시 미분방정식 소개 $n$계 오일러 코시 미분방정식은 아래와 같은 형태를 띄는 미분방정식을 말한다. \[a_nx^ny^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_0y(x)=f(x)\] 2계 오일러-코시 미분방정식은 다음과 같을 것이다. \[a_2x^2y''+a_1xy'+a_0y=f(x)\] 2계 오일러-코시 미분방정식을 보면 이 미분방정식은 선형 미분방정식이지만 미분계수 앞에 붙은 값들이 상수가 아니...

This post was written with reference to the lecture of Professor Nathan Kutz from the University of Washington, which can be found here. Prerequisites To better understand the contents of this post, it is recommended that you have knowledge of the following topics: Linear Operators and Function Spaces Eigenfunction Expansion Introducti...

이번 포스팅은 University of Washington의 Nathan Kutz 교수님 강의를 참고하여 작성한 것임을 미리 밝힙니다. Prerequisites 이번 포스팅의 내용에 대해 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 선형 연산자와 함수 공간 고유함수 전개 스트룸 리우빌 이론 소개 스트룸 리우빌 이론(Sturm-Liouville theory)1은 2계 선형미분방정식의 해를 얻고 이 해의 특성을 이해하기 위한 이론이다. (포스팅에서는 줄여서 S-L 이론이라고도 부르고자 함) 특히, 2계 선형미분방정식을 연산자(operator)의 관점에서 봄으로써 해를 구하고...

Introduction to the Method of Variation of Parameters The method of variation of parameters is a technique devised to solve non-homogeneous differential equations. While the method of undetermined coefficients can only be applied to non-homogeneous equations with polynomial, cosine, sine, or exponential functions, the method of variation of pa...

Prerequisites 이 포스팅을 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. Reduction of order 론스키안(Wronskian) 크래머 공식(Cramer’s Rule) 미정계수법 매개변수 변환법 소개 매개변수 변환법은 비제차 미분방정식을 풀이하기 위해 고안된 방법이다. 미정계수법은 비제차 항이 다항 함수, 코사인, 사인함수, 지수함수인 경우에만 적용할 수 있었지만 매개변수 변환법은 그 활용도가 더 넓다고 할 수 있다. 아래와 같은 2계 비제차 미분방정식을 생각해보자. \[x''+p(t)x'+q(t)x=r(t)\] 위와 같은 2계 비제차 미분방정식의...

Prerequisites To better understand the content of this post, it is recommended to know the following: The meaning of nonhomogeneous differential equations Introduction to the Method of Undetermined Coefficients The method of undetermined coefficients is one of the methods used to solve nonhomogeneous differential equations. It is genera...

Prerequisites 본 포스팅의 내용을 더 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 비제차 미분방정식의 의미 미정계수법 소개 미정계수법(method of undetermined coefficients)은 비제차 상미분방정식을 푸는 방법 중 하나다. 일반적으로 상수 계수를 갖는 상미분 방정식을 풀 때 사용하면 잘 풀리는 방법으로 알려져 있다. 가령 아래와 같은 미분방정식을 생각해보자. (이 식은 비제차 미분방정식의 의미 편의 식 (9)와 같다.) \[x''-4x'+3x=t\] 우리는 비제차 미분방정식에 대해 성립하는 solution $x_p(t)$가 다음과 같이 ...

Prerequisites To understand this post well, it is recommended to know about the following topics: Solution to Second Order Linear Differential Equations (2) Separation of Variables Method Introduction In the previous post Solution to Second Order Linear Differential Equations (2), we covered the general solution to the homogeneous seco...