잭나이프 & 부트스트랩 방법

Prerequisites 본 포스팅을 더 잘 이해하기 위해서는 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 표본과 표준 오차의 의미 표본 분산은 n 대신 n-1로 나눈다 p-value의 의미 신뢰 구간의 의미 추정량과 표준 오차 추정량의 의미 잭나이프와 부트스트랩 방법을 이해하기 위해선 추정량(estimator)이라는 것이 무엇인지에 대해 이해하는 것이 필수적이다. 추정량이란 표본들을 이용해 계산하는 함수라고 할 수 있다. (도대체 어떤 놈이 번역했는지, 번역이 ‘량’으로 되어서 어떤 quantity를 의미하는 것만 같다. 이것 또한 잘못된 번역이 아닌가 싶다. 추정방법, 추정자 ...

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가우스 / 가우스-조던 소거법

본 포스팅은 University of California Davis ENG 006: Engineering Problem Solving에서 제공하는 ZyBooks의 내용을 바탕으로 작성하였습니다. Prerequisites 이번 포스팅의 내용을 더 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 기본 행렬 LU 분해 Introduction 기본 행렬 편과 LU 분해 편을 통해서 우리는 행렬 형태를 이용해 연립 방정식을 풀 수 있다는 것을 확인했다. 이때 핵심적인 역할을 하는 것이 기초적인 행 연산(elementary row operations)에 대응하는 기본 행렬들 (주로 $E...

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숄레스키 분해

Prerequisites 이번 포스팅의 내용을 더 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. LU 분해 LU 분해를 수행하는 또 다른 방법 LU 분해 편에서는 LU 분해란 Gaussian elimination을 수행하는 과정에서 사용하는 기본 행 연산을 이용해 얻게 되는 행렬 분해 방법이라고 소개한 바 있다. 그런데, 꼭 Gaussian elimination을 이용하지 않더라도 아래와 같이 행렬 $A$를 하삼각행렬과 상삼각행렬의 곱으로 분해된다고 가정하더다라도 LU 분해의 결과를 그대로 얻을 수 있을 것이다. 임의의 $3\times 3$ 사이즈의 행렬 $A$에 대해 다음과...

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LU 분해

Prerequisites 이번 포스팅의 내용을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 기본 행렬 삼각행렬 소개 이번 LU 분해를 이해하기 위해선 아래의 삼각행렬이라는 용어를 조금 다루고 가는 것이 좋을 것 같아 짧게 소개한다. 선형대수학에서 종종 보이는 특이한 형태의 행렬 중 삼각행렬이라는 행렬이 있다. 이 행렬은 주대각선을 기준으로 대각 성분의 윗쪽이나 아랫쪽 항들의 값이 모두 0인 행렬을 말한다. 그래서 대각성분의 윗쪽 항들이 모두 0인 행렬을 하삼각행렬(lower triangular matrix)라고 하고, 대각 성분 아랫쪽 항들이 모두 0인 행렬을 상삼각행렬이라...

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기본 행렬

본 포스팅은 University of California Davis ENG 006: Engineering Problem Solving에서 제공하는 ZyBooks의 내용을 바탕으로 작성하였습니다. 연립방정식과 행렬 연립 방정식의 해 중학교 시절 배운 연립방정식 해법을 다시 한번 생각해보자. 가령 아래와 같은 연립 방정식을 생각해보자. \[\begin{cases}2x+3y=1 \\ 4x + 7y=3\end{cases}\] 이 연립방정식의 해를 구하기 위해서는 위쪽 식과 아래쪽 식 중 하나에서 변수 하나를 소거해줘야 한다. 우리는 윗쪽 식에 2를 곱하고 아랫쪽 식에서 빼보자. 다시 말해, 윗쪽 식을 $r_...

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그린 함수를 이용한 해법

※ 본 포스팅의 내용은 수학적인 엄밀성 보다는 그린 함수의 개념에 더 쉽게 다가가기 위해 작성한 것입니다. 혹시나 수학적으로 치명적인 오류가 있다면 꼭 조언 부탁드립니다. Prerequisites 그린 함수를 이용한 미분방정식의 해법을 이해하기 위해서는 다음의 내용에 대해 이해하고 오시는 것이 좋습니다. 행렬 곱에 대한 또 다른 시각 행벡터의 의미와 벡터의 내적 선형 연산자와 함수 공간 선형 연산자의 역행렬을 생각할 수 있을까? 선형 연산자와 함수 공간 편에서는 함수를 벡터로 취급할 수 있음을 알아보았고 미분 연산자의 관점에서 미분 방정식을 해석했다. 또, 선형 연산자란 선형대수학에서 공부한...

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크래머 공식의 기하학적 의미

행렬식의 성질 크래머 공식을 잘 이해하기 위해선 아래의 몇 가지 행렬식의 성질을 잘 이해하고 하면 좋다. 행렬식은 각 열벡터로 구성된 평행사변형의 넓이와 같은 의미를 갖는다. 가령 임의의 행렬 \[A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\] 에 대해 각 열들을 $U$, $V$라고 한다면 $\det(A)=ad-bc$는 아래의 평행사변형의 넓이와 같다. 그림 1. 행렬식의 값은 $U$, $V$ 벡터로 구성된 평행사변형의 넓이와 같다. 따라서, 평행사변형을 구성하는 벡터가 평행이라면 이 평행사변형의 넓이는 무조건 0이 된다. 다...

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오일러-코시 미분방정식

Prerequisites 이 포스팅의 내용에 대해 잘 알기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 2계 선형 미분방정식의 해법 (2) 오일러-코시 미분방정식 소개 $n$계 오일러 코시 미분방정식은 아래와 같은 형태를 띄는 미분방정식을 말한다. \[a_nx^ny^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_0y(x)=f(x)\] 2계 오일러-코시 미분방정식은 다음과 같을 것이다. \[a_2x^2y''+a_1xy'+a_0y=f(x)\] 2계 오일러-코시 미분방정식을 보면 이 미분방정식은 선형 미분방정식이지만 미분계수 앞에 붙은 값들이 상수가 아니...

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