Prerequisites
이 포스팅의 내용에 대해 잘 알기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.
오일러-코시 미분방정식 소개
$n$계 오일러 코시 미분방정식은 아래와 같은 형태를 띄는 미분방정식을 말한다.
\[a_nx^ny^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_0y(x)=f(x)\]2계 오일러-코시 미분방정식은 다음과 같을 것이다.
\[a_2x^2y''+a_1xy'+a_0y=f(x)\]2계 오일러-코시 미분방정식을 보면 이 미분방정식은 선형 미분방정식이지만 미분계수 앞에 붙은 값들이 상수가 아니기 때문에 일반적으로 사용하는 2계 선형미분방정식의 해법을 바로 적용하기는 어려운 면이 있다.
연산자의 선형성 확인
오일러 코시 미분방정식이 선형 미분방정식인 것을 확인해보기 위해선 아래의 절차를 거치면 된다.
오일러 코시 미분방정식의 미분연산자는
\[L=a_2x^2\frac{d^2}{dx^2}+a_1x\frac{d}{dx}+a_0\]이므로,
\[L(c_1y_1 + c_2y_2)=c_1L(y_1)+c_2L(y_2)\]임을 확인해보자.
\[L(c_1y_1+c_2y_2)=\left(a_2x^2\frac{d^2}{dx^2}+a_1x\frac{d}{dx}+a_0\right)(c_1y_1+c_2y_2)\] \[=c_1\left(a_2x^2\frac{d^2y_1}{dx^2}+a_1x\frac{dy_1}{dx}+a_0y_1\right)+c_2\left(a_2x^2\frac{d^2y_2}{dx^2}+a_1x\frac{dy_2}{dx}+a_0y_2\right)\] \[=c_1L(y_1)+c_2L(y_2)\]따라서 오일러-코시 미분방정식은 선형미분방정식이다.
해를 구하는 방법 (1)
만약 오일러-코시 미분방정식이 제차 미분방정식인 경우에는 다음과 같이 식을 구하면 편하다.
$y=x^m$의 형태를 띌 것이라 가정하는 것이다. 이렇게 하는 이유는 $y=x^m$으로 두면 $y$를 두번 미분한 것은 $y’‘=m(m-1)x^{m-2}$가 되는데 그와 동시에 바로 앞에 $x^2$이 붙어 있으므로 두 번 미분해줘서 승수를 낮춰준 것이 상쇄되는 효과를 보인다고 생각할 수 있기 때문이다.
거듭해서 얘기하지만 미분방정식을 풀 때는 그 미분방정식이 유일해를 가진다고 판단되면 방법이 어떻든 간에 풀어내기만 하면 그것이 정답이다. 미분방정식의 해법은 그래서 아이디어 싸움이다보니 풀이법도 중구난방이다.
어찌되었든 $y=x^m$이라고 가정한 것을 원래의 식 (2)에 대입하되, 제차 미분방정식의 꼴로 미분방정식을 생각해주면 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[식(2)\Rightarrow a_2x^2 \cdot m (m-1)(x^{m-2})+a_1x\cdot m (x^{m-1})+a_0x^m=0\] \[=(a_2m(m-1)+a_1m+a_0)x^m =0\] \[=(a_2m^2+(a_1-a_2)m+a_0)x^m=0\]여기서 $x\neq 0$일 때 공통인자 $x^m$을 제거하면,
\[\Rightarrow a_2m^2+(a_1-a_2)m+a_0=0\]이 된다.
따라서, 여기서 $m$에 따라 미분방정식의 해를 구할 수 있게 되는 것이다.
해를 구하는 방법 (2)
또 다른 오일러-코시 미분방정식을 풀기 위한 방법은 아래와 같이 치환법을 이용하는 것이다.
이 방법은 비제차 오일러-코시 미분방정식을 풀어야 할 때 유용하게 사용할 수 있다.
\[z=\ln(x)\] \[y(x)=\phi(\ln(x))=\phi(z)\]그러면 미분계수는 다음과 같이 치환 가능하다.
\[\frac{dy}{dx}=\frac{d\phi}{dx}=\frac{d\phi}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}=\frac{d\phi}{dz}\cdot\frac{1}{x}\] \[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{d\phi}{dz}\cdot\frac{1}{x}\right)\] \[=\frac{d}{dx}\frac{d\phi}{dz}\frac{1}{x}+\frac{d\phi}{dz}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\] \[=\frac{d}{dz}\frac{d\phi}{dx}\frac{1}{x}+\frac{d\phi}{dz}\left(-\frac{1}{x^2}\right)\] \[=\frac{d}{dz}\left(\frac{d\phi}{dz}\frac{1}{x}\right)\frac{1}{x}+\frac{d\phi}{dz}\left(-\frac{1}{x^2}\right)\] \[=\frac{d^2\phi}{dz^2}\cdot\frac{1}{x^2}-\frac{d\phi}{dz}\frac{1}{x^2}\] \[=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2\phi}{dz^2}-\frac{d\phi}{dz}\right)\]따라서, 원래의 식 (2)는 다음과 같이 바뀐다.
\[식(2)\Rightarrow a_2x^2\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2\phi}{dz^2}-\frac{d\phi}{dz}\right)+a_1x\frac{1}{x}\frac{d\phi}{dz}+a_0\phi(z)=f(e^z)\] \[= a_2\left(\frac{d^2\phi}{dz^2}-\frac{d\phi}{dz}\right)+a_1\frac{d\phi}{dz}+a_0\phi(z)=f(e^z)\] \[=a_2\frac{d^2\phi}{dz^2}+(a_1-a_2)\frac{d\phi}{dz}+a_0\phi(z)=f(e^z)\]이제부터 위 식은 선형 2계 미분방정식을 풀어주는 방법을 도입해서 풀이할 수 있다.
이 결과는 방법 (1)과 같은 결과를 보여주는 것을 알 수 있다. 다만, 비제차 항을 처리할 방법이 생긴다는 점에서 방법 (1)과 다른 점이 있다.
예시
문제 1.
아래의 미분방정식의 해를 구하시오.
\[x^2u''-3xu'+3u=0\]해법
우리는 $u=x^m$이라는 해를 가질 것이라 가정하고 문제를 풀어보자.
$u=x^m$을 대입하면,
\[\Rightarrow x^2(m(m-1)x^{m-2})-3x(mx^{m-1})+3x^m=m(m-1)x^m-3mx^m+3x^m=(m^2-4m+3)x^m=0\]여기서 $x^m$이 해가 되기 위해선 $x=0$이라는 조건은 피해야만 한다. 이 조건을 제외했을 때 솔루션 $u$는
\[u(x)=c_1x+c_2x^3\]임을 알 수 있다.