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Gaussian integration is an integration over the entire range of real numbers for the Gaussian function, and its value is as follows. \[\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-x^2\right)dx=\sqrt \pi\] Calculation process of Gaussian integration First, let’s denote the value of Gaussian integration as $I$. \[I = \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-x^2...

가우스 적분은 다음과 같이 가우스 함수에 대한 실수 전체 범위에 대한 적분으로, 그 값은 다음과 같다. \[\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-x^2\right)dx=\sqrt \pi\] 가우스 적분 계산 과정 우선 아래와 같이 가우스 적분의 값을 $I$라고 두자. \[I = \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-x^2\right)dx\] 그러면 $I$를 제곱한 $I^2$은 다음과 같이 생각할 수 있다. \[I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}exp\left(-x^2\right)dx \int_{-\infty}^{\infty}exp\l...

Gaussian Function The Gaussian function is defined by the following equation: \[g(t) = a\cdot \exp\left(-\frac{(t-b)^2}{2c^2}\right)\] In the context of complex Morlet wavelet, the Gaussian function serves as the envelope or time window in the time domain. By appropriately manipulating the constants a, b, and c in the equation, we can assume ...

가우시안 함수 가우시안 함수(Gaussian function)은 다음과 같은 수식으로 정의된다. \[g(t) = a\cdot \exp\left(-\frac{(t-b)^2}{2c^2}\right)\] 가우시안 함수는 complex Morlet wavelet의 envelope 또는 시간 영역에서 보면 time window의 역할을 하게 되는 함수이다. 위의 식 중 상수 a, b,c를 적절히 변형시키면 평균 $\mu$, 표준편차가 $\sigma$인 가우시안 함수를 상정할 수 있다. 가우시안 함수를 이용하는 이유는 양자역학의 코펜하겐 해석을 빌려와 설명할 수 있을 것 같은데, freely moving quantum...

Essential Background Knowledge for the Proof of the Central Limit Theorem Convolution of the Sum of Probability Variables and Probability Density Functions Let’s consider independent random variables X and Y. Let the probability mass functions of X and Y be denoted as $m_1(x)$ and $m_2(x)$, respectively. Now, let’s think about a new random va...

중심극한 정리의 증명에 필수적인 배경지식 확률 변수의 합과 확률 밀도함수의 convolution 독립적인 random variables X와 Y를 생각해보자. 이 때, X와 Y의 확률질량함수를 $m_1(x), m_2(x)$라고 하자. 이 때, $Z=X+Y$로 정의되는 새로운 random variable 를 생각해보자. 임의의 정수 $z$에 대해서 random variable $Z$의 realization을 $z$라고 하고, 임의의 정수 $k$에 대해서 $X=k$일 때, $Z=X+Y$라는 관계식이 성립하기 위해서는 $Y=z-k$일 수 밖에 없다. 사건의 관점에서 보면 \[(X=k)\text{ and }(Y=z...

Formula of Bayes’ Theorem Let’s first take a look at the formula of Bayes’ theorem. The formula of Bayes’ theorem is as follows: \[P(H|E) = \frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}\] Formula (1) contains four probability values, and its appearance is almost identical, making it difficult to understand its meaning at a glance. Among the four probability value...

베이즈 정리의 공식 우선 베이즈 정리의 공식부터 확인해보도록 하자. 베이즈 정리의 공식은 아래 식 (1)과 같다. \[P(H|E) = \frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}\] 식 (1)에는 총 네 개의 확률값이 적혀져 있으며, 생김새도 거의 비슷비슷해 그냥 보기에는 의미를 파악하기가 어렵다. 네 개의 확률 값 중 $P(H)$와 $P(H|E)$는 각각 사전 확률, 사후 확률이라고 부르고, 베이즈 정리는 근본적으로 사전확률과 사후확률 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 그렇다면, 우리는 사전확률과 사후확률의 의미를 파악함으로써 베이즈 정리가 말하는 바와 그 의의를 이해할 수 있을 것이다. 베이즈 정리의 ...