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테일러 급수 공식 유도 테일러 급수의 공식은 미적분학의 기본정리로부터 유도할 수 있다. 미적분학의 기본정리는 다음과 같이 쓸 수 있다. \[\int_{a}^{x}{f'(t)dt} = f(x) - f(a)\] 식 (1)의 좌변을 살짝 변경해 다음과 같이 써도 무방하다. \[\int_{a}^{x}{1\cdot f'(t)dt} = f(x) - f(a)\] 여기서 우리는 식(2)의 좌변을 부분적분하고자 한다. \[u'=1,\space v = f'(t)\] 로 두자. 그러면 \[u = t, \space v' = f''(t)\] 가 된다. 여기서 주의할 점은 $u=t$라고 보통은 둘 수 있지만, 사실은 $...

Figure 1. Equations 24, 25, and 26 in the above meme correspond to Laplace's equation, wave equation, and heat equation, respectively. The Laplace’s equation can be written mathematically as follows: \[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0\] When we look at this equation, we can see that the key difference...

그림1. 위 짤방의 24, 25, 26번 방정식이 각각 라플라스, 파동, 열방정식이다. 라플라스 방정식은 수식으로 쓰면 다음과 같다. \[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0\] 이 수식을 보면 열방정식, 파동방정식과 주요하게 차이는 부분을 확인할 수 있다. 바로 시간 term이 없다는 것이다. 라플라스 방정식은 특정 상태의 공간에 대한 표현이며, 구체적으로는 어떤 물리 현상의 steady state situation을 표현하는 방정식이다. 여기서 ‘어떤 물리 현상’이란 아래와 같은 것들을 포함한다. ...

Heat Equation According to Wikipedia, the heat equation is a second-order partial differential equation that describes the process of conduction of properties such as heat over time. Let’s exclude the complex term ‘second-order partial differential equation’ for now (it simply means that we took derivatives twice). The important keywords here ...

열방정식 (heat equation) 위키피디아에 따르면 열 방정식(heat equation)은 열 따위의 성질이 시간에 따라 전도되는 과정을 나타내는 2차 편미분 방정식이라고 한다. 일단 ‘2차 편미분 방정식’이라는 복잡한 말은 배제하자(‘2차’라는 말이 들어간 것은 순전히 미분을 두 번 했다는 뜻이다.). 일단 여기서 중요한 키워드는 ‘시간’에 따른 ‘전도’라고 할 수 있을 것 같다. 시간은 말 그대로 시간인데, ‘전도’는 공간에 대한 퍼짐이다. 여기서 힌트를 얻을 수 있는 것은, 열 방정식에는 하나 이상의 변수가 관여한다는 것이다. 열 방정식은 ‘열(heat)’을 출력으로 하고, 시간과 공간을 입력으로하...

1. Definition of Laplacian In Euclidean space, the Laplacian is defined as the divergence of the gradient of a scalar function $f$ that can be twice differentiable. It can be mathematically expressed as follows: \[\Delta f = \nabla ^2 f = \nabla \cdot \nabla f\] Although it may seem complicated mathematically, let’s try to understand the intu...

1. 라플라시안의 정의 (definition) 유클리드 공간에서 두 번 미분할 수 있는 스칼라 함수 $f$에 대하여 라플라시안(laplacian)은 $f$에 대한 그레디언트의 발산으로 정의되며 수식으로 표현하면 다음과 같다. \[\Delta f = \nabla ^2 f = \nabla \cdot \nabla f\] 수식 상으로는 그렇다고 하긴 하는데… 라플라시안의 직관적인 이해를 해보도록 하자. 2. 스칼라 함수의 기울기(gradient)와 발산(divergence) 라플라시안은 쉽게 말하면 스칼라 함수 에 대해서 \[div(grad(f))\] 와 같이 gradient 연산을 먼저 취해준 뒤, 그것으로...

Partial Derivatives Now we are going into multivariate calculus. So far, we have been taking derivatives of functions with one independent variable and one dependent variable. However, in multivariate calculus, there can be multiple independent variables and multiple dependent variables. First, let’s look at the simplest form of a multivariat...