발산정리(3D)

※ 본 포스팅에서 발산정리라고 부르는 개념은 특별한 언급이 없다면 3차원 발산 정리(가우스 정리)를 의미합니다. 이는 2차원 발산 정리와 구별하기 위함입니다. 발산 정리의 수식 \[{\large\bigcirc}\kern-1.55em\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} = \iiint_V(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})dV\] 발산 정리의 의미 prerequisites 발산 정리의 의미에 대해 이해하시기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것을 추천드립니다. 벡터장의 발산 중적분의 의미 벡터장의 면적분 발산 정리의 의미 소개 아래와 같이 어떤 벡터장 위에 ...

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스토크스의 정리

스토크스 정리의 수식 스토크스 정리의 수식을 써보자면 다음과 같다. \[\oint_c\vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_S(\vec{\nabla}\times\vec{F})\cdot d\vec{S}\] 식 (1)을 놓고 잘 생각해보면 그린정리의 수식과 매우 유사하다는 것을 알 수 있다. 그린정리의 수식은 다음과 같았다. \[\oint_c\vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_A(\vec{\nabla}\times\vec{F})_{2D} dA\] 여기서 $(\vec{\nabla}\times\vec{F})_{2D}$는 2D curl이라는 의미로, 수식은 curl의 수식과 같으나 2...

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벡터장의 면적분

preprequisites 면적분을 이해하기 위해선 다음의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 미소곡면의 법선 벡터 중적분의 의미 벡터장의 flux(2D) 면적분의 수식 우선 면적분의 수식을 바로 적어보자면 다음과 같다. \[\iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S} = \iint_S\vec{F}\cdot\hat{n}dS\] 여기서 $\vec{F}$는 벡터장이다. 또, $\vec{S}$는 면벡터로써 쪼개보면 $\hat{n}dS$로 쓸 수 있다. 즉, 크기는 곡면상의 미소 곡면의 넓이($dS$)이고 방향은 법선 벡터($\hat{n}$)인 벡터이다. 면적분의 수식을 잘 살펴보면...

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미소곡면의 법선벡터

이번 article에서는 벡터장의 면적분을 이해하기 위해 필수적인 미소 곡면의 법선 벡터에 대해서 알아보고자 한다. 이를 위해서 우리는 곡면의 수학적 표현에 대해 이해하고자 한다. 매개변수 하나로 표현하는 곡선의 방정식 매개변수 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있다. 매개변수 $t$에 대하여, \[r(t) = \begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}\] 고등학교 수학 시간에 배우기는 하지만 매개변수를 이용해 표현하는 직선(혹은 곡선)의 방정식은 한 눈에 이해하기가 어려웠던 것 같다. 그 이유는 우리가 보통 그리는 함수들은...

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발산정리(2D)

발산 정리의 수식 THEOREM 1. 발산 정리 (2D) 벡터장이 $F(x,y) = P(x,y)\hat{i} + Q(x,y)\hat{j}$로 주어져있고, 선적분의 방향은 면적 A의 boundary에 대해 반 시계 방향이라고 할 때 아래의 식이 성립한다.$$\iint_A\left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy = \oint_{\partial A}\left(\vec{F}\cdot\hat{n}ds\right)$$ 발산 정리는 닫힌 경로에...

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벡터장의 flux(2D)

flux는 2차원 발산정리에서 그대로 사용되기 때문에 flux에 대해 이해하는 것은 중요하다고 할 수 있다. flux는 다음과 같이 수학적으로 기술할 수 있다. \[\int_C\vec{F}\cdot\hat{n}ds\] 또는 아래와 같이 닫힌 경로에 대해서도 flux를 기술할 수 있다. \[\oint_C\vec{F}\cdot\hat{n}ds\] prerequisites flux에 대해 이해하려면 다음의 내용에 대해 알고오는 것이 좋다고 생각함. 벡터장의 선적분 회전변환행렬 매개변수 방정식 2D flux flux가 의미하는 것은 다음과 같다. “단위 시간 당 경로를 따라 빠져나간 (혹은...

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벡터장의 선적분

선적분은 주어진 벡터장에 대해 지나간 경로를 따라 한 일을 구하는 문제와 같다. 그림 출처: Wikipedia, 벡터장의 선적분 물리학에서의 일(Work) 선적분의 개념을 적용하기에 가장 유용한 개념은 물리학에서의 “일”이다. 물리학에서 일은 다음과 같이 정의한다. \[일 = 힘 \times \text{이동 거리}\] 아래의 그림 1을 통해 철수가 한 일을 수식으로 표현하면 다음과 같이 생각할 수 있따. 철수가 $F$라는 힘으로 $s$ 만큼의 거리를 이동했을 때 철수가 한 일은 $W=Fs$이다. 그림 1. 철수가 수레를 끌며 한 일은 힘과 이동거리를 곱한 만큼의 값이다. ...

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경사하강법(gradient descent)

Gradient Descent 방법은 1차 미분계수를 이용해 함수의 최소값을 찾아가는 iterative한 방법이다. Step size를 조정해가며 최소값을 찾아가는 과정을 관찰해보자. gradient descent 방법의 직관적 의미 gradient descent 방법은 steepest descent 방법이라고도 불리는데, 함수 값이 낮아지는 방향으로 독립 변수 값을 변형시켜가면서 최종적으로는 최소 함수 값을 갖도록 하는 독립 변수 값을 찾는 방법이다. steepest descent 방법은 다음과 같이 많이 비유되기도 한다. 앞이 보이지 않는 안개가 낀 산을 내려올 때는 모든 방향으로 산을 ...

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