Solving Second-Order Linear Differential Equations (1)
Prerequisites
To understand this post well, it is recommended to know the following:
Eigenvalues and Eigenvectors
Phase Plane
Homogeneous Linear Second-Order Differential Equations
A second-order linear differential equation refers to a differential equation where the maximum order of the differential coefficient is 2, as shown below.
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2계 선형 미분방정식의 해법 (1)
Prerequisitess
본 포스팅을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.
고윳값과 고유벡터
위상 평면
2계 제차 선형 미분방정식
2계 선형 미분방정식이란 아래와 같이 미분계수의 최고 미분횟수가 2회인 미분방정식을 의미한다.
\[a(t)\frac{d^2x}{dt^2} + b(t)\frac{dx}{dt} + c(t)x(t) = g(t) % 식 (1)\]
이번 시간에는 특별히 $a(t)$, $b(t)$, $c(t)$가 모두 상수이고 $g(t)=0$인 2계 제차 선형 미분방정식에 대해 다루고자 한다.
다시 말해 우리가 다루고자 하는 미분방정식의 꼴은 아래와 같다.
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Meaning of Non-Homogeneous Differential Equation
Prerequisites
To better understand the meaning of non-homogeneous differential equations, it is recommended to have knowledge about the following topics.
Direction Fields and Euler’s Method
Solutions to First-Order Linear Differential Equations
Modeling with Systems of Differential Equations
Phase Plane
First-Order Non-homogeneous D...
비제차 미분방정식의 의미
Prerequisites
비제차 미분방정식의 의미에 대해 더 잘 알기 위해서는 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.
방향장과 오일러 방법
1계 선형 미분방정식의 해법
연립 미분방정식 모델링
위상 평면
1계 비제차 미분방정식
1계 선형 미분방정식의 형태는 다음과 같았다.
\[\frac{dx}{dt}+p(t)x = q(t) % 식 (1)\]
만약 여기서 $q(t)=0$인 경우를 우리는 제차 혹은 동차 미분방정식(homogeneous DE)이라고 부르고, $q(t)\neq 0$인 경우를 비제차 혹은 비동차 미분방정식(nonhomogeneous DE)이라고 부른다.
(여기서 DE는...
Trace-Determinant Plane
Phase planes that correspond to dots on Trace-Determinant plane
Source: MIT Mathlets,
https://mathlets.org/mathlets/linear-phase-portraits-matrix-entry/
Prerequisites
To understand this content well, it is recommended that you know the following:
Phase Plane
Review of Phase Plane
In Phase Plane, it was shown that a linear syste...
trace-determinant plane
Trace-Determinant plane 상의 점들에 매칭되는 phase plane
출처: MIT Mathlets,
https://mathlets.org/mathlets/linear-phase-portraits-matrix-entry/
Prerequisites
해당 내용에 대해 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.
위상 평면 (phase plane)
위상 평면 내용 복습
위상 평면 (phase plane) 편에서 선형 연립 미분방정식은 아래와 같이 행렬을 이용해 표현할 수 있음을 확인하였다.
\[\begin{bmatrix}dx/dt \\ dy/dt\...
Phase Plane
Try adjusting a, b, c, d to see the changes of phase plane.
Source: MIT Mathlets,
https://mathlets.org/mathlets/vector-fields/
Prerequisites
To better understand the content about the phase plane, it is recommended to have knowledge about the following topics:
Meaning of Euler’s number e
Meaning of imaginary numbers
Exponentia...
위상 평면(phase plane)
a, b, c, d 값을 조정해가며 phase plane의 변화를 확인해보자.
출처: MIT Mathlets,
https://mathlets.org/mathlets/vector-fields/
Prerequisites
위상 평면에 대한 내용을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오는 것이 좋습니다.
자연상수 e의 의미
허수의 존재 의미에 대하여
밑이 음수인 지수 함수
오일러 공식의 기하학적 의미
자연상수 e와 제차 미분방정식
고윳값과 고유벡터의 의미
위상 평면 소개
2원 1계 미분방정식이나 2계 미분방정식을 해석할 때 위상평면을 이용한 해석은 미분방정식의 해...
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