밑이 음수인 지수함수

밑이 음수인 지수 함수 y=(-1.5)^x. 왼쪽 plot이 정의역, 오른쪽 plot이 치역을 나타내고 있다. ※ 이 article에서는 복소수가 single-valued라고 가정하겠습니다. 지수 함수의 정의 일반적으로 지수함수는 밑이 양수인 경우에 대해 취급한다. 위키피디아에서는 다음과 같이 지수함수를 정의하고 있다. DEFINITION 1. 지수 함수 $a$를 양의 상수, $x$를 모든 실수 값을 취하는 변수라고 할 때,$$y = a^x$$로 주어지는 함수를 말한다. 우리가 흔히 아는 지수함수를 시각화 하자면 다음과 같...

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가우스-조던 행렬 소거법의 기하학적 의미

가우스-조던 행렬 소거법이란? 가우스-조던 행렬 소거법은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 방법 중 하나이다. 이 소거법은 연립 방정식에서 아래와 같은 연산을 취해주더라도 방정식의 해는 변하지 않는다는 원리를 기반으로 수행된다. 각 식에 0이 아닌 상수를 곱하는 것 (scaling) 방정식들을 더하거나 빼더는 것 (subtraction) 방정식의 순서를 바꾸는 것 (permutation) 조금 후려쳐서 설명하면, 가우스-조던 행렬 소거법은 위 세가지 방법을 이용해서 연립방정식을 $Ax=b$ 꼴로 만든 후, A 행렬이 단위행렬[1,0;0,1] 처럼1 변할 수 있게 만들어 나가는 과정이라고도 할 수...

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로피탈 정리의 기하학적 의미

로피탈 정리만 생각하면 아직도 그분의 외침이 들린다. 아니 선생!... 로피탈 정리 고교 시절 극한을 공부할 때 일명 ‘꼼수’로 통했던 정리가 하나 있으니, 로피탈의 정리이다. 보통은 고등학교 시절에는 간단히 언급이 되기만 하거나, 엄밀한 증명을 위해선 고등학교 수준을 넘는 수학지식이 필요하므로 증명이 생략되는 경우가 거의 대부분이다. 로피탈의 정리를 우리가 대충 알고 있기로는 아래의 식 (1)과 같은데, \[\lim_{t\rightarrow \alpha}\frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t\rightarrow \alpha}\frac{f'(t)}{g'(t)}\] 이런 대략적인 내용만 알고있...

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자연상수 $e$의 의미

자연상수 $e$의 정의 우선은 자연상수 $e$의 정의와 그 값에 대해 알아보면 다음과 같다. DEFINITION 1. 자연상수 $e$ 자연상수 $e$는 다음의 극한으로 표현되는 값이다. $$e = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$또한, 소수로 나타낸 e의 근사값은 다음과 같다.$$e = 2.71828 18284 59045 23536 \cdots$$ 자연상수 $e$는 숫자만 놓고 보기엔 매우 부자연스러워 보이지만 어떤 이유에서 필요했기에 저런 상수를 도입했을까?...

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테일러 급수의 유도와 의미

테일러 급수 공식 유도 테일러 급수의 공식은 미적분학의 기본정리로부터 유도할 수 있다. 미적분학의 기본정리는 다음과 같이 쓸 수 있다. \[\int_{a}^{x}{f'(t)dt} = f(x) - f(a)\] 식 (1)의 좌변을 살짝 변경해 다음과 같이 써도 무방하다. \[\int_{a}^{x}{1\cdot f'(t)dt} = f(x) - f(a)\] 여기서 우리는 식(2)의 좌변을 부분적분하고자 한다. \[u'=1,\space v = f'(t)\] 로 두자. 그러면 \[u = t, \space v' = f''(t)\] 가 된다. 여기서 주의할 점은 $u=t$라고 보통은 둘 수 있지만, 사실은 $...

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라플라스 방정식의 의미

그림1. 위 짤방의 24, 25, 26번 방정식이 각각 라플라스, 파동, 열방정식이다. 라플라스 방정식은 수식으로 쓰면 다음과 같다. \[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0\] 이 수식을 보면 열방정식, 파동방정식과 주요하게 차이는 부분을 확인할 수 있다. 바로 시간 term이 없다는 것이다. 라플라스 방정식은 특정 상태의 공간에 대한 표현이며, 구체적으로는 어떤 물리 현상의 steady state situation을 표현하는 방정식이다. 여기서 ‘어떤 물리 현상’이란 아래와 같은 것들을 포함한다. ...

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열방정식, 파동방정식의 의미

열방정식 (heat equation) 위키피디아에 따르면 열 방정식(heat equation)은 열 따위의 성질이 시간에 따라 전도되는 과정을 나타내는 2차 편미분 방정식이라고 한다. 일단 ‘2차 편미분 방정식’이라는 복잡한 말은 배제하자(‘2차’라는 말이 들어간 것은 순전히 미분을 두 번 했다는 뜻이다.). 일단 여기서 중요한 키워드는 ‘시간’에 따른 ‘전도’라고 할 수 있을 것 같다. 시간은 말 그대로 시간인데, ‘전도’는 공간에 대한 퍼짐이다. 여기서 힌트를 얻을 수 있는 것은, 열 방정식에는 하나 이상의 변수가 관여한다는 것이다. 열 방정식은 ‘열(heat)’을 출력으로 하고, 시간과 공간을 입력으로하...

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스칼라장의 라플라시안

1. 라플라시안의 정의 (definition) 유클리드 공간에서 두 번 미분할 수 있는 스칼라 함수 $f$에 대하여 라플라시안(laplacian)은 $f$에 대한 그레디언트의 발산으로 정의되며 수식으로 표현하면 다음과 같다. \[\Delta f = \nabla ^2 f = \nabla \cdot \nabla f\] 수식 상으로는 그렇다고 하긴 하는데… 라플라시안의 직관적인 이해를 해보도록 하자. 2. 스칼라 함수의 기울기(gradient)와 발산(divergence) 라플라시안은 쉽게 말하면 스칼라 함수 에 대해서 \[div(grad(f))\] 와 같이 gradient 연산을 먼저 취해준 뒤, 그것으로...

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