행렬식의 기하학적 의미

행렬식이 의미하는 것: 선형변환 될 때 단위 면적이 얼마만큼 늘어나는가? ※ 본 article에서는 열벡터(column vector) convention을 따릅니다. 행렬식 역행렬을 구할 때 사용되는 행렬식(determinant)는 $2\times 2$ 행렬에서 다음과 같이 정의된다. DEFINITION 1. 행렬식 행렬 $$A=\begin{pmatrix}a& b \\ c & d \end{pmatrix}$$ 에 대하여 $$det(A) = ad-bc$$ 로 정의된다. 또, 역행렬은 다음과 같이 정의된다....

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특이값 분해(SVD)

특이값 분해(SVD)가 말하는 것: 직교하는 벡터 집합에 대하여, 선형 변환 후에 그 크기는 변하지만 여전히 직교할 수 있게 되는 그 직교 집합은 무엇인가? 그리고 선형 변환 후의 결과는 무엇인가? ※ 특이값분해(Singular Value Decomposition, SVD)는 보통 복소수 공간에 대하여 정의하는 것이 일반적이지만, 본 페이지에서는 실수 벡터 공간에 한정하여 작성되어 있음을 명시합니다. ※ 본 article에서는 열벡터(column vector) convention을 따릅니다. 특이값분해의 정의 특이값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)는 임의의 $...

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주성분 분석(PCA)

PCA가 말하는 것: 데이터들을 정사영 시켜 차원을 낮춘다면, 어떤 벡터에 데이터들을 정사영 시켜야 원래의 데이터 구조를 제일 잘 유지할 수 있을까? ※ 본 article에서는 열벡터(column vector) convention을 따릅니다. PCA는 종합점수를 ‘잘’ 계산하는 방법 100명의 학생들이 국어 시험과 영어 시험을 봤다고 생각해보자. 영어 시험이 조금 더 어려웠고 그 결과 중 일부는 대략적으로 다음과 같았다고 하자. 국어 점수 영어 점수 100 83 70 ...

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음의 주파수

음의 주파수가 의미하는 것: 양의 주파수로 회전하는 벡터와 음의 주파수로 회전하는 벡터를 합치면 비로소 복소평면에서 실수 신호 하나를 표현할 수 있다. FFT 결과를 얻게되면 우리가 보는 것 그림 1. 10Hz 신호를 FFT 했을 때 얻게 되는 결과 10Hz cosine 함수를 고속 푸리에 변환을 적용해본다고 생각해보자. 어떤 결과를 얻게 되는가? 그림 1의 하단에서 보이듯이 10Hz와 -10Hz의 두 개의 주파수에 amplitude는 각각이 절반씩 가져가는 결과를 얻게 되지 않는가? 즉, 핵심 질문은 두 가지다. 왜 음의 주파수인가? 음의 주파수의 물리적인 ...

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고윳값과 고유벡터

고유벡터와 고윳값이 물어보는 것: “벡터 x에 어떠한 선형변환 A를 했을 때, 그 크기만 변하고 원래 벡터와 평행한 벡터 x는 무엇인가요?” “그렇다면, 그 크기는 얼마만큼 변했나요?” 벡터에 행렬 연산을 취해준다는 것은? 행렬은 선형 변환 연산이다. ‘선형’이라는 말이 어렵게 들릴 수 있으니, 일단 변환이라고 하자. 무엇을 변환시켜 준 것일까? 행렬은 벡터를 변환시켜 다른 벡터를 출력해준다1. 그림 1. 행렬은 벡터를 변환시켜주는 연산자이다. 그림 1에서 볼 수 있듯이 행렬을 이용해 벡터를 변환 시켜 주면, 변환 후의 벡터($A\vec{x}$)는 변환 전의 벡터($\vec{...

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행렬과 선형변환

행렬은 선형 변환이다. 임의의 벡터 $\vec a$, $\vec b$와 스칼라 $c$ 에 대하여 변환 $T$ 가 다음의 두 조건을 만족한다면 이 변환 $T$ 는 선형변환이다. \[T(\vec a + \vec b) = T(\vec a)+T(\vec b)\] \[T(c \vec a) = c T(\vec a)\] 따라서, 위의 선형 변환의 성질에 따라, 임의의 벡터 \[\left[ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right]\] 에 대해 다음이 성립한다. \[T \left ( \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} \right ) = T\lef...

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주파수 샘플링과 DFT

주파수 샘플링 하는 목적에 대해서 우리는 지금까지 Analog Signal을 시간 영역에서 sampling 하여 Digital Signal로 변환시키고, Sample된 Digital Signal을 어떻게 하면 다시 Analog Signal로 원상 복구 시킬 수 있는지에 대해서 알아보았다. 이것은 일상생활에서 쉽게 접할 수 있는 아이디어로부터 출발하기 때문에 Nyquist Frequency Theorem이나 Ideal reconstruction의 개념은 그 필요성의 출발이 충분히 납득할 수 있는 것이었으리라 생각한다. 하지만 주파수는 왜 샘플링 하여야 하는가? 그것은 모든 Digital System은 이산화 되어...

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시간 샘플링과 나이퀴스트 이론

시간 샘플링 이론이 말해주는 것: "얼마나 빼곡히 샘플링을 해야 원래 신호로 복구하는데 어려움이 없을까?" 시간 샘플링? 물리적인 (아날로그) 신호를 디지털 화면 상에 표시해주기 위해선 샘플링이 필요하다. 대개 신호처리에서 샘플링이라고 하면 시간 샘플링을 말하는 것 같다. 시간 샘플링이란 원래의 아날로그 신호 (포스트 맨 위 애플릿의 흰색 실선)를 디지털 신호로 바꿔주는 과정이라고 할 수 있다. (드디어 아날로그 세계와 디지털 세계가…!) 포스트 맨 위 애플릿에서는 ‘어느 정도의’ 주기를 갖고 아날로그 신호를 샘플링 해주는데, ‘어느 정도의’ 샘플링 속도 이상이 되면 샘플된 시간과 신호 값들을 가지고 ...

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