2계 선형 미분방정식의 해법 (1)

Prerequisitess 본 포스팅을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 고윳값과 고유벡터 위상 평면 2계 제차 선형 미분방정식 2계 선형 미분방정식이란 아래와 같이 미분계수의 최고 미분횟수가 2회인 미분방정식을 의미한다. \[a(t)\frac{d^2x}{dt^2} + b(t)\frac{dx}{dt} + c(t)x(t) = g(t) % 식 (1)\] 이번 시간에는 특별히 $a(t)$, $b(t)$, $c(t)$가 모두 상수이고 $g(t)=0$인 2계 제차 선형 미분방정식에 대해 다루고자 한다. 다시 말해 우리가 다루고자 하는 미분방정식의 꼴은 아래와 같다. ...

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비제차 미분방정식의 의미

Prerequisites 비제차 미분방정식의 의미에 대해 더 잘 알기 위해서는 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 방향장과 오일러 방법 1계 선형 미분방정식의 해법 연립 미분방정식 모델링 위상 평면 1계 비제차 미분방정식 1계 선형 미분방정식의 형태는 다음과 같았다. \[\frac{dx}{dt}+p(t)x = q(t) % 식 (1)\] 만약 여기서 $q(t)=0$인 경우를 우리는 제차 혹은 동차 미분방정식(homogeneous DE)이라고 부르고, $q(t)\neq 0$인 경우를 비제차 혹은 비동차 미분방정식(nonhomogeneous DE)이라고 부른다. (여기서 DE는...

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trace-determinant plane

Trace-Determinant plane 상의 점들에 매칭되는 phase plane 출처: MIT Mathlets, https://mathlets.org/mathlets/linear-phase-portraits-matrix-entry/ Prerequisites 해당 내용에 대해 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 위상 평면 (phase plane) 위상 평면 내용 복습 위상 평면 (phase plane) 편에서 선형 연립 미분방정식은 아래와 같이 행렬을 이용해 표현할 수 있음을 확인하였다. \[\begin{bmatrix}dx/dt \\ dy/dt\...

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위상 평면(phase plane)

a, b, c, d 값을 조정해가며 phase plane의 변화를 확인해보자. 출처: MIT Mathlets, https://mathlets.org/mathlets/vector-fields/ Prerequisites 위상 평면에 대한 내용을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오는 것이 좋습니다. 자연상수 e의 의미 허수의 존재 의미에 대하여 밑이 음수인 지수 함수 오일러 공식의 기하학적 의미 자연상수 e와 제차 미분방정식 고윳값과 고유벡터의 의미 위상 평면 소개 2원 1계 미분방정식이나 2계 미분방정식을 해석할 때 위상평면을 이용한 해석은 미분방정식의 해...

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연립 미분방정식 모델링

※ 본 포스팅의 내용은 Thomas Judson의 The ordinary differential equations project에서 많은 부분을 차용하였음을 밝힙니다. 지금까지의 미분방정식에 대한 논의는 주로 1계 미분방정식에 관한 것이었다. 그것도, 1계 1원 미분방정식으로 1원이라는 것은 미분계수가 계산되는 변수가 하나라는 뜻이다. 가령 $t$가 독립변수라고 했을 때, 종속변수는 $x$하나인 경우로 일반적인 식은 다음과 같았다. \[\frac{dx}{dt}=f(t, x) % 식 (1)\] 하지만, 미분방정식은 종속변수가 하나인 경우에만 한정하여 쓸 수 있는 것은 아니다. 미분방정식 두 개를 한꺼번에 이용...

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베르누이 미분방정식

이전 포스팅 1계 선형 미분 방정식의 해법 편에서는 아래와 같은 미분방정식의 해법을 찾는 방법에 대해 다룬 바 있다. \[\frac{dx}{dt}+p(t)x=q(t) % 식 (1)\] 이번 시간에는 위 식 (1)이 약간 변형된 비선형 미분 방정식 중 하나인 베르누이 미분방정식의 해법에 대해 알아보고자 한다. 베르누이 미분방정식의 형태 베르누이 미분방정식의 형태는 아래와 같다. \[\frac{dx}{dt}+p(t)x=q(t)x^n % 식 (2)\] 여기서 $p(t)$와 $q(t)$는 우리가 분석하고자하는 구간에서 연속함수이고, $n$은 실수라고 하자. 만약 $n=0$이거나 $n=1$이면 선형미분 방정식이...

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1계 선형 미분방정식의 해법

※ 본 포스팅의 내용은 Thomas Judson의 The ordinary differential equations project에서 많은 부분을 차용하였음을 밝힙니다. 지난 변수분리법 포스팅에서는 가장 단순한 1계 선형 미분방정식의 형태인 변수분리형 미분방정식에 대해 풀어보았다. 이번 시간에는 변수분리법으로는 풀 수 없는 조금 더 일반적인 형태의 1계 선형 미분 방정식의 해법에 대해 알아보고자 한다. 우리가 풀고자하는 미분방정식의 형태는 다음과 같다. \[\frac{dx}{dt}+p(t)x=q(t) % 식 (1)\] 위의 식 (1)이 변수분리법에서 본 식과 다른 점은 가운데 있는 $p(t)$가 더 이상 상...

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변수분리법

※ 본 포스팅의 내용은 Thomas Judson의 The ordinary differential equations project에서 많은 부분을 차용하였음을 밝힙니다. 변수분리형 1계 미분방정식 가장 간단한 형태의 미분방정식 중 하나는 다음과 같은 변수분리형 1계 미분방정식이다. \[\frac{dy}{dx}=M(x)N(y)\] 식 (1)을 보면 $x$에 대한 식 $M(x)$와 $y$에 대한 식 $N(y)$가 깔끔하게 분리되어 있는 것을 볼 수 있다. 간단한 예시 식 (1)은 조금 복잡할 수도 있는데, $M(x)$와 $N(y)$를 조금 바꿔서 구체적인 예시를 들어보면 다음과 같은 것이 변수분리형 1계 미분...

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