중심극한정리의 의미

고등학교 시절에 배우는 통계학에서는 중심극한정리에 대해 다음과 같이 설명하고 있다. 자연 현상이나 사회 현상 중에는 확률밀도함수의 그래프가 오른쪽 그림과 같이 어떤 값을 중심으로 대칭적으로 분포하며 중심에서 멀어질수록 도수가 작아지는 종 모양의 곡선에 가깝게 나타나는 경우가 많이 있다. 고등학교 수학 교과서 $\lt$확률과 통계$\gt$, 지학사, 2009 여기서 말하는 ‘오른쪽 그림’은 일반적인 정규분포의 형태를 그려놓은 그래프이다. 생각해보면 왜 이런 현상이 일어나는지에 대해 조금 더 자세히 말해주었다면 좋았을 것 같다는 생각이 많이 들게 하는 문장이다. 거기다가 아래와 같이 정규분포의 식은...

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정규분포의 공식 유도

이번 포스트에서는 정규 분포(혹은 가우스 분포)의 공식을 유도해보고자 한다. 정규 분포의 공식은 꽤 복잡하기 때문에 아래의 그림과 같이 세 가지 파트로 나누어 유도해보도록 하자. 그림 1. 정규 분포의 공식과 포스팅에서의 유도 순서 prerequisites 이 포스팅에 대해 이해하시려면 아래의 내용에 대해 알고오시는 것이 좋습니다. 확률밀도함수의 개념과 특성 가우스 적분 $e^{-x^2}$의 꼴의 유도 우선은 $f(x)$가 $e^{-x^2}$의 꼴을 따른다는 것을 유도해보고자 한다. 필요 가정 이를 위해 아래와 같이 중심을 직교좌표계의 원점에 일치시킨 원형 다트 판에 다트 ...

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행벡터의 의미와 벡터의 내적

지금까지 우리는 벡터란 무엇인지에 대해 알아보고, 행렬과 벡터의 곱에 대해 알아보았다. 짧게 요약하자면 벡터란 상수배(곱셈 규칙)와 덧셈 규칙이 정의되는 원소들이라고 하였으며, 이들의 집합에 이 연산들이 정의된 집합을 벡터 공간(vector space)라고 한다고 하였다. 여기서 이러한 상수배와 덧셈 규칙이 정의되는 원소들을 ‘선형성을 갖는다’라고 표현한다. 또, 행렬은 벡터를 또 다른 벡터로 변환 시키는 일종의 연산자로 볼 수 있으며, 특히 행렬과 벡터의 곱은 행렬의 열벡터들을 얼마나 선형결합 시킬 것인가라는 의미로 볼 수 있다고 하였다. 이번 시간에는 행벡터의 기능과 역할에 대해 알아보고, 이를 통해 벡터...

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행렬 곱에 대한 또 다른 시각

일반적으로 이용하는 행렬곱의 방법 필자는 고등학교 시절 7차 교육과정을 거치면서 고등학교 시절 행렬에 대해 배운 적이 있다. 그때 처음 배운 행렬의 곱셈 방식은 너무나도 독특했는데, 지금 생각해도 익숙하지 않다면 행렬의 곱은 “왜 이렇게 계산하지?”라고 생각이 들 정도로 이상하다. 행렬의 곱은 일반적으로 다음과 같이 생각한다. 그림 2. 행렬의 일반적인 곱셈 방법 수식을 이용해 조금 더 정확하게 쓰면 다음과 같다. \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bm...

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벡터의 기본 연산(상수배, 덧셈)

벡터란 무엇인가? 벡터의 기본 연산에 대해 이야기 하기 전에 벡터란 무엇인지부터 생각해보도록 하자. 1) 벡터란 화살표 같은 것 우선 바로 떠오르는 것은 벡터란 물리학에서 말하는 ‘크기와 방향으로 정의되는 값’이라고 할 수 있다. 이것은 기하학적인 벡터의 특성을 잘 반영하고 있는 정의라고 할 수 있으며, 특히 벡터의 좌표계의 변환에 대한 불변성(invariance)을 잘 표현하고 있다. 좌표계의 변환에 대해 불변적이라는 말은 아래 그림에서 처럼 좌표계가 변하더라도 벡터 그 자체는 가만히 있다는 것을 의미한다. 그림 1. 좌표계의 변환과 벡터. 좌표계가 변할 때 벡터는 변하지 않지만 벡터의...

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$\frac{dx}{dy}$는 $\frac{dy}{dx}$의 역수인가?

prerequites 이 포스트의 내용에 대해 잘 이해하시려면 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 미분의 의미 역함수가 존재할 조건: 일대일 대응 도입 미분 계수는 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있다. \[\frac{dy}{dx}\] 여기서 $dx$는 $x$가 매우 적게 변한 양을 의미한다고 배웠을 것이다. 또, $dy$는 $y$가 매우 적게 변한 양을 의미한다고도 알고 있다. 즉 원래 미분의 의미는 아래와 같은 식으로부터 도출되는 것이다. \[\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{dy}{dx}\] ...

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$\int x^{dx}-1=$?

※ 이 포스팅은 Quora의 글 중 What is $\int x^{dx}-1$?의 Oden Petersen의 답변을 재구성한 것입니다. \[\int x^{dx}-1\] 이 수식을 보자마자 “장난치는건가?” 싶은 생각이 들었다. 전혀 익숙한 형태의 수식이 아닐 뿐더러 보통 적분을 계산할 때는 $dx$를 적분 맨 뒤에 써다 주는 것이 관례적이라고 생각했기 때문일지도 모른다. 하지만, 리만 적분의 본래 의미를 생각해본다면 이 적분 값은 정당한 결과를 가져온 다는 것을 알 수 있을 것이다. 본 포스팅을 작성하는 이유는 적분 기호들의 원래적 의미에 다시 한번 집중해서 그 본질적 의미를 탐구했으면 한다는 Oden P...

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선형회귀

Gradient descent로 풀어내는 Linear Regression. Linear Regression이 말하는 것: 수많은 점들을 최대한 잘 설명할 수 있는 trend line을 그으려면 어떻게 해야할까? 선형대수학의 관점에서 본 회귀분석 ※ 최적화 문제 관련 내용으로 궁금한 사람은 $\lt$선형대수학의 관점에서 본 회귀분석 $\gt$ 파트를 건너뛰어도 무관함. prerequisites 이 내용에 대해 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오는 것이 좋습니다. 벡터의 기본 연산(상수배, 덧셈) 행벡터의 의미와 벡터의 내적 4개 주요 부분 공간의 관계 선형연립방정식을 이용...

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