이산시간 푸리에 변환(Discrete Time Fourier Transform)

가. 들어가면서 DTFT(Discrete Time Fourier Transform, 이산시간 푸리에 변환)를 유도해 내는 과정은 CTFS(Continuous Time Fourier Series)에서 CTFT(Continuous Time Fourier Transform)를 유도해 내는 과정과 거의 흡사하다고 할 수 있다. 함수의 Orthogonality를 이용해서 decompose한다는 개념도 마찬가지라고 할 수 있다. 하지만 Discrete Time Domain의 특징 때문에 유도 과정 마지막 부분에서 주의할 점이 있다. 나. Discrete Time domain의 특징 먼저, Discrete Time S...

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이산시간 푸리에 급수(Discrete Time Fourier Series)

DTFS의 유도 과정은 CTFS의 유도 과정과 거의 흡사하다고 할 수 있다. 삼각함수의 orthogonality를 이용해서 주기 함수를 decompose한다는 개념이 동일하게 이용된다. 이산 시간 도메인에서 함수의 직교성 DTFS를 유도하기 전에 discrete time에서의 orthogonality의 정의와, DTFS에 이용될 함수의 집합의 orthogonality에 대한 증명이 필요하다. 그러므로, DTFS의 유도과정에 필요한 정의와 증명을 먼저 적고, DTFS에 대한 유도과정을 증명하도록 하겠다. DEFINITION 1. 이산 시간 영역에서의 직교성(orthogonality i...

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연속시간 푸리에 변환(Continuous Time Fourier Transform)

가. CTFT의 아이디어 CTFT의 아이디어는 단순하다. $T$ 를 주기로 하는 주기함수 $x(t)$ 에 대해서, $T$ 를 무한정 크게 늘린다면, 그것은 사실은 비주기 함수와 같다고 할 수 있는 것이다. 이런 아이디어를 통해 유도하게 되는 CTFT는 어떠한 비주기함수도 sinusoidal function을 이용해서 decompose할 수 있다는 것을 의미하기 때문에 큰 의의를 가진다. 이번 post에서는 CTFT의 유도과정에 대해 알아보고자 한다. 나. CTFT의 유도과정 PROOF3. 극한을 이용한 CTFT의 유도 과정 주기가 $T$ 인 주기함수는 다음과 같이 나타낼 수 있음을 우리는 증명한 바 있다...

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연속시간 컨볼루션(Continuous Time Convolution)

연속 시간 컨볼루션이 말하는 것: 연속함수는 잘게 쪼개서 표현될 수 있다. 본 post에서는 linear time invariant (LTI) 시스템을 상정함. 또한, 용어는 아래와 같이 사용하고자 함. 이산 신호: discrete time signal 연속 신호: continuous time signal 1. 이산 신호 컨볼루션의 의미 [복습] 이번 시간에는 연속 시간 도메인에서 컨볼루션에 대해 생각해보고자 한다. 우리가 수학을 배울 때 연속 시간 신호(즉, 실수 함수)에 대해 먼저 배우고 대학에 와서야 이산 신호에 대해 배우지만, 사실 이해를 돕기위해서는 이산 시간 도메인에서 개념을...

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연속시간 푸리에 급수(Continuous Time Fourier Series)

푸리에 급수가 말하는 것: 임의의 주기함수는 삼각함수의 합으로 표현될 수 있다. 1. Continuous Time Fourier Series 가. Orthogonal Functions Fourier Analysis의 Formulae를 공부할 때, 가장 쉽게 간과하는 부분이 바로 푸리에 급수의 공식 유도 방법이다. 푸리에 급수의 공식은 가장 먼저 함수의 Orthogonality에서부터 출발해야 한다. 함수의 Orthogonality에 대한 개념은, 수학에서는 함수를 벡터처럼 다룰 수도 있다는 것에서 부터 출발한다. 즉, 수학적인 의미에서 함수 역시 마찬가지로 Inner Product를 정의할 수 있다. ...

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페이저(phasor)

0. prerequisites 우선 phasor에 대해 정확히 이해하기 위해선 다음의 개인정리를 꼭 읽기 바람. 또는 아래의 내용에 대해 알고 있는 사람이라면 계속 공부하셔도 무방합니다. 허수란 무엇인가? 자연상수 e의 의미 오일러 공식의 유도과정과 그 의미 1. 정현파란 무엇인가? 푸리에 분석의 최종적 결론이라고 할 수 있는 모든 신호는 정현파의 합으로 나타낼 수 있다는말은 학부시절 귀 따갑게 들었던 말이다 (독자가 현재 학부 과정 중에 있다면 귀에 따갑게 듣게 될 것이다.). 이 말은 굉장히 중요한 의미를 갖는데 그 중에서도 신호 분석에 있어서 phasor 분석이 가능하게 되는 시발점을 제공...

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impulse response

아래의 과정은 모두 LTI(Linear Time-Invariant) system에서 생각하는 것임을 명기한다. 1. 서론 Signals and Systems 시간에서 배우는 System의 특징 중 가장 중요한 특징 중 하나는 system의 causality이다. Causal 하다고 하는 것은, 신호의 입장에서 보았을 때 신호의 과거와 현재의 값만 갖고 작동하는 시스템을 칭하는 것이다. 그런데, 항상 causal system의 impulse response는 음의 $n$ 또는 $t$ 에 대해서 값이 0이어야 한다고 한다. 왜 과거와 현재의 값만 갖고 작동하는 시스템의 impulse response는 음의 $n$...

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DiscreteTime Convolution

아래의 과정은 모두 LTI system에서 생각하는 것임을 명기한다. Kronecker Delta function 그림 1. 크로네커 델타 함수 Discrete Time Convoltuion의 유도과정 DT domain에서의 convolution 그림 2. 임의의 이산함수 $x[n]$ 개인적인 생각으론 convolution의 개념은 Digital Signal에서 출발하지 않았을까 싶다. Digital Signal에서 convolution의 개념을 파악해보는 것이 더 쉽다. 즉, 임의의 DT signal $x[n]$ 은 다음과 같다고 할 수 있다. \[x[n]=\cdo...

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