자연상수 e와 제차 미분방정식

미분방정식의 해는 많은 경우 exponential 함수로 표현된다. 우리의 질문은 이렇게 귀결될 수 있다. "왜 미분방정식의 해는 자연상수 e를 이용해 표현될까?" 미분방정식은 ‘되먹임을 통한 성장’에 대한 기술(description)이기 때문이다. Prerequisites 해당 내용에 대해 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 잘 알고 오시는 것을 추천 드립니다. 자연상수 e의 의미 미분방정식을 보는 또 다른 관점 우리는 지금까지 두 가지 관점으로 미분방정식을 생각해보았다. 미분방정식을 이용한 현상 모델링편에서는 미분계수가 포함된 방정식을 미분방정식이라고 보았다. 또, 방향장과 ...

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미분방정식을 이용한 현상 모델링

※ 본 포스팅의 내용은 Thomas Judson의 The ordinary differential equations project에서 많은 부분을 차용하였음을 밝힙니다. 미분방정식은 방정식 안에 미분계수가 포함되어 있는 것을 말한다. 이 때, 미분 계수의 미분 횟수는 1회에서 그치지 않고 여러회 반복될 수 있는데, 가장 간단한 1계 미분방정식(first-order differential equation)의 경우의 형식은 다음과 같다. \[\frac{dy}{dx}=f(x, y) % 식 (1)\] 우리는 이번 포스팅에서 식 (1)과 같은 미분방정식이 어떻게 나올 수 있었는지를 차근히 알아보고자 한다. Expo...

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방향장과 오일러 방법

오일러 방법을 통한 dy/dx = x의 솔루션으로의 근사치 플롯 Prerequisites 이 내용을 더 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 미분방정식을 이용한 현상 모델링 미분 방정식을 보는 또 다른 관점 미분 방정식을 이용한 현상 모델링편에서는 어떻게 미분방정식을 이용해 현상을 모델링 할 수 있는지 알아보았다. 이 때 이용되었던 미분방정식은 대부분 단순한 1계 미분방정식의 꼴을 갖고 있었는데, 아래와 같은 형태였다. \[\frac{dy}{dx}=f(x,y) % 식 (1)\] 위 식은 좌변에는 미분 계수, 우변에는 다항식이 들어있다라고 볼 수도 있지...

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기하 분포

파라미터 p를 수정해가며 다양한 경우의 기하 분포의 생김새에 대해 확인해보자. 기하 분포에서 x 축에 있는 k가 갖는 것은 어떤 의미일까? 그리고 기하 분포의 형태가 의미하는 것을 설명할 수 있는가? Prerequisites 기하 분포를 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 이항 분포 기하 분포의 정의 기하 분포는 성공 혹은 실패의 두 가지 경우의 수로 구성된 시행을 연달아 수행 시 처음 성공할 때 까지 시도한 횟수 $k$에 대한 분포이다. 성공 확률이 $p$인 시행에 대해 $k$번 시행 후 첫번째 성공을 얻을 확률은 \[P(K=k) ...

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지수 분포

파라미터 λ를 수정해가며 다양한 경우의 지수 분포의 생김새에 대해 확인해보자. 지수분포에서 x 축에 있는 t가 갖는 것은 어떤 의미일까? 그리고 지수 분포의 형태가 의미하는 것을 설명할 수 있는가? Prerequisites 지수 분포를 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 포아송 분포 지수 분포의 정의 지수분포의 확률밀도함수는 \[f(x;\lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{ where } x\geq 0 \\[.5em] 0 & \text{ where }...

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포아송 분포

파라미터 λ를 수정해가며 다양한 경우의 포아송분포의 생김새에 대해 확인해보자. 포아송분포에서 x 축에 있는 k가 갖는 것은 어떤 의미일까? 그리고 각 막대의 길이는 어떤 의미를 갖는지 설명할 수 있는가? 포아송 분포는 생각보다 이항분포 만큼 실생활에서 유용하다. 이름도 복잡해보이고 수식도 어려워 보이지만, 실제 이 분포가 말하는 것이 무엇인지 알고나면 정규분포보다 더 친근해질 수 있는 좋은 친구라는 것을 알 수 있을 것이다. Prerequisites 포아송 분포를 잘 이해하기 위해서는 아래의 내용에 대해 알고오시는 것이 좋습니다. 이항 분포 포아송 분포의 정의 ...

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이항 분포

파라미터 n, p를 수정해가며 다양한 경우의 이항분포의 생김새에 대해 확인해보자. 이항분포에서 x 축에 있는 k가 갖는 것은 어떤 의미일까? 그리고 각 막대의 길이는 어떤 의미를 갖는지 설명할 수 있는가? 확률통계학을 처음 접할 때 가장 먼저 만나게 되는 예시는 동전 던지기이다. 일상 생활에서 쉽게 접할 수 있는 “명백한” 확률적인 이벤트이기 때문이다. 이항 분포는 동전 던지기의 “앞면” 혹은 “뒷면”과 같이 두 가지 사건만 일어날 수 있는 경우에 대해 기대해볼 수 있는 분포라고 할 수 있다. 즉, 쉬운 예시를 가지고 이해할 수 있는 좋은 확률분포라고 할 수 있다. 또, 이항 ...

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칼만 필터

칼만필터를 이용한 마우스 움직임 Tracking. 만약 내 손이 심하게 떨고 있을 때, 칼만 필터는 떨지 않았을 경우의 마우스 궤적을 추정해주는데 쓰일 수 있다. Prerequisites 본 페이지에서 소개하는 칼만필터를 이해하기 위해서는 다음의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 칼만 필터 소개 칼만 필터란? 소개 필요 칼만 필터 예시: 물체의 궤적 추정 칼만 필터에 대해 수학적으로 논의하기에 앞서 칼만 필터를 이용해 무엇을 할 수 있는지 알아보도록 하자. 칼만필터를 이용하면 물체를 추적 할 때 지금까지의 궤적에 기반해 다음번 물체의 위치를 추정하는데 사용할 수 있다. 쉽게 설명하면...

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