그린정리

prerequisites 그린 정리를 이해하기 위해선 다음의 세 가지 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 미적분학의 기본정리 함수 $f$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이며, 함수 $F$가 $f$의 임의의 부정적분이면 다음이 성립한다. \[\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)\] 중적분의 의미 벡터장의 선적분 그린 정리 평면에서의 그린 정리는 다음과 같다. THEOREM 1. 그린 정리 벡터장이 $F(x,y) = P(x,y)\hat{i} + Q(x,y)\hat{j}$로 주어져있고, 선적분...

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가우스 적분

가우스 적분은 다음과 같이 가우스 함수에 대한 실수 전체 범위에 대한 적분으로, 그 값은 다음과 같다. \[\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-x^2\right)dx=\sqrt \pi\] 가우스 적분 계산 과정 우선 아래와 같이 가우스 적분의 값을 $I$라고 두자. \[I = \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-x^2\right)dx\] 그러면 $I$를 제곱한 $I^2$은 다음과 같이 생각할 수 있다. \[I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}exp\left(-x^2\right)dx \int_{-\infty}^{\infty}exp\l...

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시간-주파수 불확정도

가우시안 함수 가우시안 함수(Gaussian function)은 다음과 같은 수식으로 정의된다. \[g(t) = a\cdot \exp\left(-\frac{(t-b)^2}{2c^2}\right)\] 가우시안 함수는 complex Morlet wavelet의 envelope 또는 시간 영역에서 보면 time window의 역할을 하게 되는 함수이다. 위의 식 중 상수 a, b,c를 적절히 변형시키면 평균 $\mu$, 표준편차가 $\sigma$인 가우시안 함수를 상정할 수 있다. 가우시안 함수를 이용하는 이유는 양자역학의 코펜하겐 해석을 빌려와 설명할 수 있을 것 같은데, freely moving quantum...

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중심극한정리 증명

중심극한 정리의 증명에 필수적인 배경지식 확률 변수의 합과 확률 밀도함수의 convolution 독립적인 random variables X와 Y를 생각해보자. 이 때, X와 Y의 확률질량함수를 $m_1(x), m_2(x)$라고 하자. 이 때, $Z=X+Y$로 정의되는 새로운 random variable 를 생각해보자. 임의의 정수 $z$에 대해서 random variable $Z$의 realization을 $z$라고 하고, 임의의 정수 $k$에 대해서 $X=k$일 때, $Z=X+Y$라는 관계식이 성립하기 위해서는 $Y=z-k$일 수 밖에 없다. 사건의 관점에서 보면 \[(X=k)\text{ and }(Y=z...

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베이즈 정리의 의미

베이즈 정리의 공식 우선 베이즈 정리의 공식부터 확인해보도록 하자. 베이즈 정리의 공식은 아래 식 (1)과 같다. \[P(H|E) = \frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}\] 식 (1)에는 총 네 개의 확률값이 적혀져 있으며, 생김새도 거의 비슷비슷해 그냥 보기에는 의미를 파악하기가 어렵다. 네 개의 확률 값 중 $P(H)$와 $P(H|E)$는 각각 사전 확률, 사후 확률이라고 부르고, 베이즈 정리는 근본적으로 사전확률과 사후확률 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 그렇다면, 우리는 사전확률과 사후확률의 의미를 파악함으로써 베이즈 정리가 말하는 바와 그 의의를 이해할 수 있을 것이다. 베이즈 정리의 ...

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time window 길이와 주파수 해상도

주파수 해상도란 무엇인가? 주파수 해상도란 원하는 신호를 주파수 domain에서 관찰할 때 얼마나 촘촘한 간격으로 해당 주파수 대역의 값을 관찰 할 수 있는가를 말한다고 할 수 있다. 이것은 time signal을 sampling 할 때 높은 샘플링 주파수를 가지고 신호를 기록하면 촘촘한 time signal을 얻을 수 있는 것과 유사한 개념이다. 보통 주파수 해상도에 대해서 얘기할 때 관찰하는 time window의 길이가 길면 frequency domain에서는 주파수 해상도가 좋고(즉, frequency domain에서 촘촘하게 관찰할 수 있고), sampling rate이 높으면 time domain에서...

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푸리에 변환과 위상(phase)

들어가기에 앞서 푸리에 변환에 대해서 이해하기 어려워 하는 부분 중 하나로 phase를 꼽을 수 있다. 보통 amplitude에 대한 개념은 직관적이기 때문에 이해하기 쉽지만 phase는 그렇지 않은 경우가 많고 phase에 대해서 많이들 신경 쓰지 않는 경우도 종종 있다. 푸리에 변환의 시작인 함수 내적의 의미와 복소수의 근본적인 의미에 대해 잘 이해할 수 있어야 어떻게 푸리에 변환을 통해서 amplitude와 phase가 비로소 이해될 수 있다고 생각한다. 푸리에 변환은 실수함수를 복소수 영역으로 mapping 시켜주는 기능을 한다. 특별히 mapping의 kernel이 독특한 성질을 가지고 있기 때문에 이...

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론스키안(Wronskian)과 함수의 선형 독립 판별

정의 우선 함수의 선형 독립이란 어떻게 정의1되는지 알아보자. DEFINITION 1. Linear Dependence/Independence A set of functions $f_1(x), f_2(x),\cdots f_n(x)$ is said to be linearly dependent on an interval $I$ if there exist constants $c_1, c_2, \cdots c_n$, not all zero such that $$c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x) = 0$$for every ...

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