행렬과 선형변환

행렬은 선형 변환이다. 임의의 벡터 $\vec a$, $\vec b$와 스칼라 $c$ 에 대하여 변환 $T$ 가 다음의 두 조건을 만족한다면 이 변환 $T$ 는 선형변환이다. \[T(\vec a + \vec b) = T(\vec a)+T(\vec b)\] \[T(c \vec a) = c T(\vec a)\] 따라서, 위의 선형 변환의 성질에 따라, 임의의 벡터 \[\left[ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right]\] 에 대해 다음이 성립한다. \[T \left ( \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} \right ) = T\lef...

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주파수 샘플링과 DFT

주파수 샘플링 하는 목적에 대해서 우리는 지금까지 Analog Signal을 시간 영역에서 sampling 하여 Digital Signal로 변환시키고, Sample된 Digital Signal을 어떻게 하면 다시 Analog Signal로 원상 복구 시킬 수 있는지에 대해서 알아보았다. 이것은 일상생활에서 쉽게 접할 수 있는 아이디어로부터 출발하기 때문에 Nyquist Frequency Theorem이나 Ideal reconstruction의 개념은 그 필요성의 출발이 충분히 납득할 수 있는 것이었으리라 생각한다. 하지만 주파수는 왜 샘플링 하여야 하는가? 그것은 모든 Digital System은 이산화 되어...

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섀넌의 샘플링 정리

시간 샘플링 이론이 말해주는 것: "얼마나 빼곡히 샘플링을 해야 원래 신호로 복구하는데 어려움이 없을까?" 시간 샘플링? 물리적인 (아날로그) 신호를 디지털 화면 상에 표시해주기 위해선 샘플링이 필요하다. 대개 신호처리에서 샘플링이라고 하면 시간 샘플링을 말하는 것 같다. 시간 샘플링이란 원래의 아날로그 신호 (포스트 맨 위 애플릿의 흰색 실선)를 디지털 신호로 바꿔주는 과정이라고 할 수 있다. (드디어 아날로그 세계와 디지털 세계가…!) 포스트 맨 위 애플릿에서는 ‘어느 정도의’ 주기를 갖고 아날로그 신호를 샘플링 해주는데, ‘어느 정도의’ 샘플링 속도 이상이 되면 샘플된 시간과 신호 값들을 가지고 ...

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이산시간 푸리에 변환(Discrete Time Fourier Transform)

Prerequisites 이 포스팅을 더 잘 이해하기 위해서는 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 연속 신호의 샘플링 푸리에 변환 이산 시간 푸리에 급수(DTFS) 이산 시간 푸리에 변환 (DTFT) 이산 시간 푸리에 변환은 연속 시간 푸리에 변환처럼 비주기 신호에 대해 적용하는 푸리에 분석 방법이다. 다만 여기서는 연속 시간 신호가 아닌 그것이 샘플된 이산 신호에 대해 적용한다는 차이가 있다. DTFT를 유도해내는 아이디어 역시 CTFT에서와 마찬가지로 주기 N의 크기를 무한대로 크게 만드는 것이다. 만약 N의 크기가 무한대로 커지게 된다면, 비주기 이산신호를 분해 할 수 있...

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이산시간 푸리에 급수(Discrete Time Fourier Series)

DTFS의 유도 과정은 CTFS의 유도 과정과 거의 흡사하다고 할 수 있다. 삼각함수의 orthogonality를 이용해서 주기 함수를 decompose한다는 개념이 동일하게 이용된다. Prerequisites 이 포스팅을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 연속 신호의 샘플링 푸리에 급수 이산 정현파 신호의 주파수 특성 이산 신호는 연속 신호를 시간 샘플링해 얻은 것이다. 얼핏 생각하면 샘플링 주기를 매우 짧게 만들어주면 연속신호처럼 보이기 때문에 연속신호와 별다른 차이없이 분석을 수행할 수 있을 것이라고 생각할 수 있다. 그러나, 샘플링을 통해 얻게되는 부수...

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푸리에 변환(Fourier Transform)

Prerequisites 이 포스팅을 더 잘 이해하기 위해서는 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 푸리에 급수 푸리에 변환의 아이디어 푸리에 변환의 아이디어는 단순하다. $T$ 를 주기로 하는 주기함수 $x(t)$ 에 대해서, $T$ 를 무한정 크게 늘린다면, 그것은 사실은 비주기 함수와 같다고 할 수 있는 것이다. 그림 1. 주기 함수의 주기를 무한정 크게 하면 어떤 일이 일어날까? 위 그림을 보면 사각 펄스의 주기를 계속 늘리게 되었을 때 주파수 스펙트럼이 변화하는 것을 볼 수 있다. 특별히 스펙트럼의 표현 간격이 주기가 늘어남에 따라 계속해서 좁아지는 것을 볼 ...

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연속시간 컨볼루션(Continuous Time Convolution)

연속 시간 컨볼루션이 말하는 것: 연속함수는 잘게 쪼개서 표현될 수 있다. Prerequisites 이 포스팅에 대해 더 잘알기 위해서는 다음의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 선형 시불변(LTI) 시스템 이산 컨볼루션과 임펄스 응답 1. 이산 신호 컨볼루션의 의미 [복습] 이번 시간에는 연속 시간 도메인에서 컨볼루션에 대해 생각해보고자 한다. 우리가 수학을 배울 때 연속 시간 신호(즉, 실수 함수)에 대해 먼저 배우고 대학에 와서야 이산 신호에 대해 배우지만, 사실 이해를 돕기위해서는 이산 시간 도메인에서 개념을 먼저 생각해본 뒤 연속 시간 신호의 관점으로 확장시키는 것이 도움이 되...

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푸리에 급수(Fourier Series)

푸리에 급수가 말하는 것: 임의의 주기함수는 삼각함수의 합으로 표현될 수 있다. Prerequisites 이번 포스팅을 더 잘 이해하기 위해서는 아래의 내용에 대해 알고 오는 것이 좋습니다. 신호 공간(signal space) 미분방정식을 이용한 오일러 공식 유도 오일러 공식의 기하학적 의미 쉽게 설명해보는 푸리에 급수 세 종류의 장난감 블록이 있다고 생각해보자. 이 때, 세 종류의 블록은 생김새가 아주 다르게 생겼다는 것에 초점을 맞추자. 그림 1. 세모, 동그라미, 별표 모양의 장난감 블록을 상상해보자. 그리고 장난감 블록들이 마구잡이로 어지럽혀져 있다고 해보자. 우...

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