스트룸-리우빌 이론

이번 포스팅은 University of Washington의 Nathan Kutz 교수님 강의를 참고하여 작성한 것임을 미리 밝힙니다. Prerequisites 이번 포스팅의 내용에 대해 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 선형 연산자와 함수 공간 고유함수 전개 스트룸 리우빌 이론 소개 스트룸 리우빌 이론(Sturm-Liouville theory)1은 2계 선형미분방정식의 해를 얻고 이 해의 특성을 이해하기 위한 이론이다. (포스팅에서는 줄여서 S-L 이론이라고도 부르고자 함) 특히, 2계 선형미분방정식을 연산자(operator)의 관점에서 봄으로써 해를 구하고...

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매개변수 변환법

Prerequisites 이 포스팅을 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. Reduction of order 론스키안(Wronskian) 크래머 공식(Cramer’s Rule) 미정계수법 매개변수 변환법 소개 매개변수 변환법은 비제차 미분방정식을 풀이하기 위해 고안된 방법이다. 미정계수법은 비제차 항이 다항 함수, 코사인, 사인함수, 지수함수인 경우에만 적용할 수 있었지만 매개변수 변환법은 그 활용도가 더 넓다고 할 수 있다. 아래와 같은 2계 비제차 미분방정식을 생각해보자. \[x''+p(t)x'+q(t)y=r(t)\] 위와 같은 2계 비제차 미분방정식의...

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미정계수법

Prerequisites 본 포스팅의 내용을 더 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 비제차 미분방정식의 의미 미정계수법 소개 미정계수법(method of undetermined coefficients)은 비제차 상미분방정식을 푸는 방법 중 하나다. 일반적으로 상수 계수를 갖는 상미분 방정식을 풀 때 사용하면 잘 풀리는 방법으로 알려져 있다. 가령 아래와 같은 미분방정식을 생각해보자. (이 식은 비제차 미분방정식의 의미 편의 식 (9)와 같다.) \[x''-4x'+3x=t\] 우리는 비제차 미분방정식에 대해 성립하는 solution $x_p(t)$가 다음과 같이 ...

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reduction of order

Prerequisites 본 포스팅을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 2계 선형 미분방정식의 해법 (2) 변수분리법 들어가기에 앞서 이전 2계 선형 미분방정식의 해법 (2) 편에서는 2계 제차 선형 미분방정식의 일반해에 대해 다루었다. 우리가 다루는 2계 선형 제차 미분방정식이 아래와 같은 꼴이라고 하자. \[ax''+bx'+cx = 0\] 여기서 우리는 보조방정식을 얻고, 보조방정식의 근을 통해 고윳값을 확인한다고 공부하였다. 그리고 특히, 보조방정식의 근이 중근인 경우는 중복되는 고윳값을 갖게 되는 경우인데, 가령 중복되는 고윳값을 $\lambda$라...

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2계 선형 미분방정식의 해법 (2)

Prerequisites 본 포스팅을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 2계 선형 미분방정식의 해법 (1) 미분방정식을 이용한 오일러 공식 유도 2계 제차 선형 미분방정식 2계 선형 미분방정식이란 아래와 같이 미분계수의 최고 미분횟수가 2회인 미분방정식을 의미한다. \[a(t)\frac{d^2x}{dt^2} + b(t)\frac{dx}{dt} + c(t)x(t) = g(t) % 식 (1)\] 이번 시간에는 특별히 $a(t)$, $b(t)$, $c(t)$가 모두 상수이고 $g(t)=0$인 2계 제차 선형 미분방정식에 대해 다루고자 한다. 다시 말해 우리가 다루...

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고유함수 전개

이 포스팅은 Nathan Kutz 교수님의 강의를 많이 참고 하여 작성한 것임을 미리 밝힙니다. Prerequisites 이 포스팅을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 고윳값과 고유벡터 선형 연산자와 함수 공간 에르미트 행렬 소개 에르미트(Hermitian) 행렬은 자기 자신과 켤레 전치가 같은 복소수 정사각 행렬이다. 다시 말해, 임의의 $n\times n$행렬에 대해 아래의 성질이 성립한다면 에르메트 행렬이다. \[A^H=A\] 즉, \[A_{ij}=\bar{A_{ji}}\] 여기서 $A^H$은 켤레 전치(conjugate transpose), $\b...

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선형 연산자와 함수 공간

미분방정식을 보는 또 다른 관점 지금까지 미분방정식을 해석하는 여러가지 관점에 대해 알아보았다. 미분방정식을 이용한 현상 모델링편에서는 미분계수가 포함된 방정식을 미분방정식이라고 보았다. 또, 방향장과 오일러 방법 편에서는 좌표 $(x,y)$에 매핑된 기울기로 미분방정식을 기하학적으로 해석했으며, 자연상수 e와 제차 미분방정식 편에서는 미분방정식이란 연속성장의 관점에서 시시각각 변화율이 바뀌는 시스템의 관점에서 미분방정식을 해석하였다. 위의 세 가지 해석은 미분방정식을 수치적으로나 해석적(analytic)으로나 매우 유용한 관점이었으며, 1계 미분방정식 뿐만 아니라 그 이상의 degree의 미분방정식의 해...

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경계값 문제

Prerequisites 경계값 문제에 대한 포스팅을 잘 이해하기 위해서는 다음의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 방향장과 오일러 방법 자연상수 e와 제차 미분방정식 2계 선형미분방정식의 해법 경계값 문제란? 지금까지 미분방정식의 해를 구할 때 우리는 초기값 문제를 가지고 해를 구했다. 초기값 문제는 쉽게 말해 어디서부터 미분방정식의 해(solution)의 성장을 진행시킬까에 관한 문제였다. 즉, 식으로 쓰자면 다음과 같은 조건이 주어진 경우에 문제를 풀 수 있는 것이다. 풀고자하는 미분방정식이 2계 미분방정식이라고 하면 초기 조건은 다음과 같은 것이다. \[x(t_0) = x_0...

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