Prerequisites
본 포스팅을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.
들어가기에 앞서
이전 2계 선형 미분방정식의 해법 (2) 편에서는 2계 제차 선형 미분방정식의 일반해에 대해 다루었다.
우리가 다루는 2계 선형 제차 미분방정식이 아래와 같은 꼴이라고 하자.
\[ax''+bx'+cx = 0\]여기서 우리는 보조방정식을 얻고, 보조방정식의 근을 통해 고윳값을 확인한다고 공부하였다.
그리고 특히, 보조방정식의 근이 중근인 경우는 중복되는 고윳값을 갖게 되는 경우인데, 가령 중복되는 고윳값을 $\lambda$라고 하면 그 경우 아래와 같이 일반해를 선정할 수 있다고 언급한 바 있다.
\[x(t)=c_1e^{\lambda t}+c_2 te^{\lambda t}\]다시 말해, 이 솔루션 $x(t)$는 $e^{\lambda t}$ 라는 해 하나만 주어졌을 때 또 다른 해는 $te^{\lambda t}$라고 놓으라고 말해주는 것과 같다.
여기서 $e^{\lambda t}$ 나 $te^{\lambda t}$를 기저함수라고도 부르는데 이 내용에 대해서는 추후에 더 깊게 다루도록 하자. 앞으로는 기저함수라는 표현을 종종 쓰도록 하겠다.
다시 말해, 기저 함수라는 용어를 사용한다면, 2계 미분방정식의 해는 두 개의 기저함수의 선형 결합으로 이루어지는데, 우리는 하나의 기저함수만 부여받은 경우를 생각하게 된 것이라고 말할 수 있다.
그렇다면, 왜 $e^{\lambda t}$라는 기저함수가 주어졌을 때 새로운 기저함수는 $te^{\lambda t}$라고 설정하면 문제가 풀리게 되는 걸까?
문제를 푸는 방법
사실 기저가 하나만 주어졌을 때 또 다른 기저를 구하는 방법은 공식만 알면 그렇게 어려운 문제는 아니다.
이번 reduction of order 시간에는 공식을 이용해 문제를 먼저 풀어보고 이 공식이 어떻게 유도되었는지 과정을 살펴보도록 하자.
(유도 과정의 수식 전개가 복잡해 보이기 때문에 이런 구성을 선택했다.)
가령 식 (19)과 같은 방정식에 대해 $x_1(t)$라는 해 하나가 주어졌을 때,
\[x_2(t) = ux_1(t)\]라고 가정하자.
그리고,
\[u = \int U dt\]이고,
\[U = \frac{1}{x_1^2}\exp\left(-\int p(t) dt\right)\]인 $U$를 찾는 것을 목적으로 하여 문제를 풀어보도록 하자.
적분상수들은 일반해를 계산할 때 기저해 두 개를 선형결합 하는 과정에서 의미가 없어지기 때문에 신경쓰지 않아도 괜찮다.
예제 문제 1.
아래의 초기값 문제를 해결하시오.
\[x''-4x'+4x = 0 \quad x(0) = 12 \quad x'(0) = -3\]이 문제는 2계 선형 미분방정식의 해법 (2) 편에서 보았던 보조 방정식이 중근을 가지는 경우의 예제 문제이다.
이 경우가 바로 기저해가 하나만 주어지는 경우라고 볼 수 있다.
보조 방정식을 풀면 기저해 중 하나는
\[x_1(t)=e^{2t}\]라는 것을 알 수 있다.
따라서, 또 다른 기저해인 $x_2(t)$는 다음과 같다고 설정하자.
\[x_2(t) = ux_1(t)\]그리고 $u=\int U dt$와 같이 설정하고 $U$는
\[U = \frac{1}{(e^{2t})^2}\exp\left(-\int -4 dt\right)\]와 같다.
따라서, $U$를 조금 더 계산하면,
\[U = \frac{1}{e^{4t}}\exp(4t)=1\]임을 알 수 있다.
그리고,
\[u=\int U dt\]이므로,
\[u(t) = t\]임을 알 수 있다.
따라서, 또 다른 기저 $x_2(t)= ux_1(t) = te^{2t}$임을 알 수 있게 된다.
따라서 일반해는
\[x(t) = c_1e^{2t}+c_2te^{2t}\]이고, 초기값을 이용하면,
\[x(0) = c_1 = 12\] \[x'(t) = 2c_1e^{2t}+c_2e^{2t}+2c_2te^{2t}\] \[x'(0) = 2c_1+c_2= -3\] \[c_2 = -3-24 =-27\] \[\therefore x(t) = 12e^{2t}-27te^{2t}\]와 같이 문제를 풀 수 있게 된다.
Reduction of Order 공식의 유도 방법
Reduction of order 공식을 유도하는 방법은 식이 깔끔하게 이해되기는 어려워서 굳이 설명하고 싶지는 않다.
하지만 이 방법은 추후 매개변수 변환법의 아이디어와도 맥을 같이 하기 때문에 꼭 짚고 넘어가는 것이 좋다.
아래와 같은 조금 더 일반적인 형태의 2계 제차 선형 미분방정식을 푼다고 생각해보자.
\[x''+p(t)x'+q(t)x = 0 % 식 (19)\]그리고 여기서 기저 함수 $x_1(t)$는 주어져있다고 하자.
$x_2(t) = u(t)x_1(t)$라는 꼴을 띈다고 가정하고 $u$를 구할 수 있을지 알아보자.
여기서 왜 그런 가정을 하냐?라고 묻는다면 특별히 그래야만 하는 이유는 없다.
미분방정식에서는 해가 유일하게 존재함이 보장된다면 어떤 방식의 아이디어로 방정식을 풀더라도 해만 나오면 그 방법이 정답이다. 다시 말해 해를 구하기 위한 아이디어의 싸움일 뿐이다.
다만, $x_2(t)=ux_1(t)$라고 두면 $x_1(t)$와는 독립적인 기저 함수를 얻을 수 있기 때문에 이렇게 결정하는 것은 타당한 접근이라고 볼 수는 있다.
(독립적인 기저 여부를 판단하기 위해선 Wronskian을 적용할 수 있다.)
여기서 주목해야 할 부분 중 하나는 $x_1(t)$와 $x_2(t)$는 모두 2계 제차 미분방정식의 솔루션의 일부분이므로 아래의 두 식이 모두 만족된다는 것이다.
\[x_1''+p(t)x_1'+q(t)x_1= 0\] \[x_2''+p(t)x_2'+q(t)x_2= 0\]따라서 우리는 방금 언급 된 식 중 두 번째 식을 사용하기 위해 $x_2’$과 $x_2’‘$을 구해보자.
\[x_2' = u'x_1 + ux'_1\] \[x_2'' = u''x_1+u'x_1'+u'x_1' +ux_1''\] \[=u''x_1+2u'x_1'+ux_1''\]따라서 원래의 식에 $x_2’$와 $x_2{‘’}$를 대입하면,
\[x_2''+p(t)x_2'+q(t)x_2=0\] \[\Rightarrow u''x_1+2u'x_1'+ux_1''+p(t)(u'x_1+ux_1')+q(t)ux_1=0\]여기서 $u{‘’}$와 $u$, u에 대하여 식을 묶어 보자.
\[\Rightarrow u''(x_1) + u'(2x_1'+p(t)x_1)+u(x_1''+p(t)x_1'+q(t)x_1)=0\]앞서 언급한 바와 같이 $(x_1{‘’}+p(t)x_1’+q(t)x_1)=0$이므로
\[\Rightarrow u''x_1 + u'(2x_1'+p(t)x_1) = 0\]이다.
이 식을 다시 쓰면
\[x_1u''+(2x_1'+p(t)x_1)u'=0\]이 되고, 양변을 $x_1$로 나눠주면,
\[\Rightarrow u'' + \left(2\frac{x_1'}{x_1}+p(t)\right)u'=0\]과 같다.
여기서 우리는 $u’$을 $U$로 바꿔써보자.
그러면 식은
\[\Rightarrow U' + \left(2\frac{x_1'}{x_1}+p(t)\right)U=0 % 식 (31)\]가 된다.
즉, 해결을 위한 미분방정식의 order가 2차에서 1차로 내려갔다. (그래서 reduction of order technique이라고 부른다.)
식 (31)을 잘 보면 변수분리법을 이용해 풀 수 있는 간단한 형태임을 알 수 있다.
따라서, $U$에 대한 식을 모두 좌변으로, $t$에 대한 식을 모두 우변으로 옮기면 다음과 같다.
\[\Rightarrow \frac{1}{U}dU=-\left(2\frac{x_1'}{x_1}+p(t)\right)dt\]여기서 양변을 적분해주면,
\[\Rightarrow \ln(U)=-2\ln(x_1)-\int p(t)dt\] \[\therefore U=\exp\left(-2\ln(x_1)-\int p(t) dt\right)\] \[=\exp(-2\ln(x_1))\exp\left(-\int p(t) dt\right)\] \[=\frac{1}{x_1^2}\exp\left(-\int p(t) dt\right)\]과 같이 $U$를 구할 수 있음을 알 수 있다.
여기서 $U=u’$이므로 $u$는 다음과 같이 계산할 수 있는 것이다.
\[u=\int U dt\]그리고 새로운 기저 $x_2(t)$는
\[x_2(t)=ux_1(t)\]이다.