시간 샘플링 이론이 말해주는 것:
시간 샘플링?
물리적인 (아날로그) 신호를 디지털 화면 상에 표시해주기 위해선 샘플링이 필요하다. 대개 신호처리에서 샘플링이라고 하면 시간 샘플링을 말하는 것 같다.
시간 샘플링이란 원래의 아날로그 신호 (포스트 맨 위 애플릿의 흰색 실선)를 디지털 신호로 바꿔주는 과정이라고 할 수 있다. (드디어 아날로그 세계와 디지털 세계가…!) 포스트 맨 위 애플릿에서는 ‘어느 정도의’ 주기를 갖고 아날로그 신호를 샘플링 해주는데, ‘어느 정도의’ 샘플링 속도 이상이 되면 샘플된 시간과 신호 값들을 가지고 원래의 신호로 거의 비슷하게 복구할 수 있다.
그러면, 이론적으로 ‘어느 정도의’ 주기를 갖고 아날로그 신호를 샘플링 해줘야 원래 신호로 복구 가능한 것일까? (즉, ideal reconstruction). 이 질문에 대한 해답을 sampling theorem에서 구할 수 있다.
Sampling theorem의 증명과정
연속시간 신호 $x_c(t)$ 와 이산시간 신호 $x_d[n]$ 을 생각해보자.
이 연속시간 신호의 샘플링 된 sequence는 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[x_d[n]=x_c(nT)\]이 때, $T$ 는 샘플링 간격이다.
연속시간 신호 $x_c(t)$ 에 대하여, 다음과 같은 푸리에 변환을 가진다는 것을 알고 있다.
\[X_c(f) = \int_{-\infty}^{\infty}x_c(t) \exp(-j2\pi f t)dt\]이산시간 신호 $x_d[n]$ 에 대하여, 우리는 다음과 같은 푸리에 변환이 가능함을 알고 있다.
\[X_d(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n]\exp(-j2\pi fn)\]이 때, $X_c(f)$ 와 $X_d(f)$ 의 관계를 수학적으로 표현해보고자 한다.
이제 impulse train이라고 불리는 신호를 정의하도록 하자.
\[p_c(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)\]
그림 1. impulse train의 모습
impulse train을 이용하여 연속신호를 샘플링한 것을 수학적으로 표현할 수 있다.
따라서, 연속신호와 이산신호의 관계를 다음과 같이 생각할 수 있다.
\[y_c(t) = x_c(t)p_c(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n]\delta_c(t-nT)\]$y_c(t)$ 는 비주기 연속신호이므로 푸리에변환 할 수 있다. $y_c(t)$ 의 푸리에 변환 $Y_c(f)$ 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[Y_c(f) = \int_{-\infty}^{\infty}y_c(t) \exp(-j2\pi ft)dt\] \[=\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n] \delta(t-nT) \exp(-j2\pi ft)dt\] \[=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n]\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) \exp(-j2\pi ft)dt\] \[=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n] \exp(-j2\pi f nT) = X_d(Tf)\]여기서 식 (8) 에서 식 (9)로 넘어갈 때에는 다음과 같은 델타 함수의 성질을 이용한 것이다.
\[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-k)f(t) dt = f(k)\]동시에, $p_c(t)$ 는 주기를 $T$ 로 하는 연속시간 주기 신호이므로. $p_c(t)$ 는 CTFS를 통해 표현할 수 있다.
\[p_c(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)\] \[=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \exp\left(j \frac{2\pi k}{T}t\right)\]그런데, 동시에 CTFT는 주기 신호이던 아니던 관계없이 어떤 연속 신호라도 적용할 수 있으므로, $p_c(t)$ 에 CTFT를 적용해도 무방하다.
\[P_c(f) = \int_{-\infty}^{\infty}p_c(t) \exp(-j2\pi ft) dt\] \[=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right) \exp(-j2\pi ft)dt\] \[=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right) \exp(-j2\pi ft)dt\]여기서 식 (16) 내의 정적분 파트에 대해서 생각해보자. 이 식을 다시 쓰면 아래의 식 (17)과 같다.
\[\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right) \exp(-j2\pi ft)dt\]식 (17)은 $\exp\left(j\frac{2\pi k}{T}t\right)$ 를 푸리에 변환한 것으로 해석할 수도 있다.
식 (17)을 이해하기 위해 다음의 두 푸리에 변환에 대해 생각해보자.
\[\mathfrak{F}(1) = \int_{-\infty}^{\infty}1 \times \exp\left(-j2\pi ft\right) = \delta(f)\]또, $\mathfrak{F}(f(t)) = F(f)$ 라고 했을 때
\[\mathfrak{F}\left(\exp\left(j2\pi f_0 t\right)f(t)\right) = F(f-f_0)\]즉, 식(17)은 1의 푸리에 변환인데, 그것이 $\frac{k}{T}$ 만큼 modulation 되었다고 생각할 수 있는 것이다.
따라서 식 (17)은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[식(17) = \delta(f-\frac{k}{T})\]따라서, 식 (16)은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[P_c(f) = \frac{1}{T}\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(f-\frac{k}{T})\]또한, $y_c(t)=x_c(t)p_c(t)$ 로 생각 할 수 있다고 했는데, 컨볼루션과 푸리에 변환 사이의 관계를 생각하면 $Y_c(f)=X_c(f)\otimes P_c(f)$ 이다. (여기서 ‘$\otimes$’ 연산자는 컨볼루션 연산자를 의미함.)
따라서,
\[Y_c(f) = X_c(f) \otimes P_c(f) = P_c(f) \otimes X_c(f)\] \[= \int_{-\infty}^{\infty}P_c(\tau)X_c(f-\tau)d\tau\] \[=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\left(\tau-\frac{k}{T}\right)X_c\left(f-\tau\right)d\tau\] \[=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta\left(\tau-\frac{k}{T}\right)X_c\left(f-\tau\right)d\tau\]여기서 우리는 식 (25)의
\[\int_{-\infty}^{\infty}\delta\left(\tau-\frac{k}{T}\right)X_c(f-\tau)d\tau\]를 다음과 같이 생각할 수 있다.
\[\int_{-\infty}^{\infty}\delta\left(\tau-\frac{k}{T}\right)X_c\left(f-\tau\right)d\tau= \delta\left(f-\frac{k}{T}\right)\otimes X_c(f)\]왜냐하면, 다음과 같이 볼 수 있기 때문이다.
아래 식에서와 같이 $X(f)$ 와 $Y(f)$ 의 컨볼루션 연산은 $X(f)$ 의 $f$ 를 $\tau$ 로 바꿔주고 $Y(f)$ 의 $f$ 에서 $\tau$ 를 뺀 $f-\tau$ 로 바꿔준 것으로 볼 수 있는데,
\[X(f)\otimes Y(f) = \int_{-\infty}^{\infty}X(\tau)Y(f-\tau)d\tau\]마찬가지의 방식을 적용해서 $\delta(f-\frac{k}{T})\otimes X_c(f)$ 에서도 왼쪽의 델타함수에 있는 $f$ 는 $\tau$ 로 바꿔주고, $X_c$ 에 있는 $f$ 는 $f-\tau$로 바꿔주면
\[\int_{-\infty}^{\infty}\delta\left(\tau-\frac{k}{T}\right)X_c(f-\tau)d\tau\]와 같기 때문이다.
따라서,
\[Y_c(f) = P_c(f) \otimes X_c(f)\]식 (26)에 의해서,
\[=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{k}{T}\right)\otimes X_c(f)\]델타함수의 성질에 의해서,
\[=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left(f-\frac{k}{T}\right)\]그러므로 우리는 식 (6)~(9)와 식 (27)~(29)로부터 $X_c(f)$ 와 $X_d(f)$ 간의 관계를 다음과 같이 확인할 수 있다.
\[Y_c(f) = X_d(Tf) = \frac{1}{T}\sum_{-\infty}^{\infty}X_c\left(f-\frac{k}{T}\right)\]이 때, $X_c(f)$ 의 주파수 스펙트럼이 $|f|>B$ 에서 0, 다른 말로는 $\frac{1}{T}>2B$ 이라면 (즉, 주파수 영역이 bounded),
\[Y_c(f) = X_d(Tf) = \frac{1}{T}X_c(f) \space for \space |f| < \frac{1}{2T}\]ideal reconstruction
지금까지 Frequency Domain에서 $X_c(f)$ 와 $X_d(f)$ 의 관계에 대해서 알아보았다. 그렇다면 둘의 관계에 대해서 아는 것은 어떤 의미를 갖는 것일까? 혹은 어떤 것을 파악하기 위해서 $X_c(f)$ 와 $X_d(f)$ 의 관계를 수식적으로 이해해야 하는 것일까?
우리는 sampling한 신호(혹은 이산 신호)에 어떤 방법을 취하면 그것이 원래의 contiunous time signal로 완벽하게 복구 시킬 수 있는지를 알고싶은 것이다. 우리는 Sampling Theorem을 통해서 수식적인 관계를 식(32)와 같이 발견하게 되었다.
그렇다면, $x_c(t)$ 의 샘플링한 신호의 fourier transform의 형태인 $Y_c(f)$ 를 다시 $X_c(f)$ 로 바꾸기 위해선 어떤 조치를 취해야 할까? 그것은 $Y_c(f)=\frac{1}{T}X_c(f)$ 이기 때문에 다음과 같은 method를 통해서 $Y_c(f)$ 를 다시 $X_c(f)$ 로 돌려 놓을 수 있다고 할 수 있다.
\[X_c(f) = Y_c(f) H_c(f)\]즉, $H_c(f)$ 는 an ideal low pass filter라고 할 수 있다. (특정 주파수보다 낮은 신호들은 모두 내보내고, 특정 주파수보다 높은 대역의 신호들은 모두 통과시키지 않으니까.)
시간 영역(time domain)에서 우리는 $x_c(t)$ 와 $y_c(t)$ 에 대하여 다음과 같은 관계를 구할 수 있다.
\[x_c(t) = y_c(t) \otimes h_c(t)\] \[= \int_{-\infty}^{\infty} y_c(\tau)h_c(t-\tau)d\tau\] \[= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n]h_c(t-nT)\] \[\Rightarrow h_c(t) = \mathfrak{F}^{-1}(H_c(f)) = \frac{\sin(\pi t/T)}{\pi t/T} = sinc(t/T)\]여기서 우리는 주파수 도메인에서 ideal lowpass filter는 time domain에서 sinc function으로 표현된다는 사실까지 확인할 수 있다. 아래는 위의 sinc function의 유도과정을 증명한 것이다.
PROOF impulse response function in ideal reconstruction transfer function
아래와 같은 $H_c(f)$ 에 대하여 역 푸리에 변환을 취해보자.
\[H_c(f) = \begin{cases} T, & \text{if } |f|<\frac{1}{2T} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\] \[\mathfrak{F}^{-1}(H_c(f)) = \int_{-\infty}^{\infty}H_c(f) \exp(j2\pi ft) df\] \[= \int_{-1/2T}^{1/2T} T \space \exp(j2\pi ft) df\] \[=\frac{T}{j2\pi t} \left\|\exp\left(j2\pi ft\right)\right\|^{1/2T}_{-1/2T}\] \[=\frac{T}{j2\pi ft} \left( \exp\left(\frac{j2\pi t}{2T}\right) - \exp\left(-\frac{j2\pi t}{2T}\right) \right)\] \[=\frac{T}{\pi t}\space\frac{1}{2j}\left( \exp\left(j\frac{\pi t}{T}\right)-\exp\left(-j\frac{\pi t}{T}\right) \right)\] \[=\frac{T}{\pi t}\sin\left(\frac{\pi t}{T}\right) = \frac{\sin(\pi t /T)}{\pi t /T}\] \[\therefore\mathfrak{F}^{-1} (H_c(f))=h_c(t) =\frac{\sin(\pi t/T)}{\pi t/T}\]Q.E.D.