이산시간 푸리에 변환(Discrete Time Fourier Transform)

 

가. 들어가면서

DTFT(Discrete Time Fourier Transform, 이산시간 푸리에 변환)를 유도해 내는 과정은 CTFS(Continuous Time Fourier Series)에서 CTFT(Continuous Time Fourier Transform)를 유도해 내는 과정과 거의 흡사하다고 할 수 있다.

함수의 Orthogonality를 이용해서 decompose한다는 개념도 마찬가지라고 할 수 있다.

하지만 Discrete Time Domain의 특징 때문에 유도 과정 마지막 부분에서 주의할 점이 있다.

나. Discrete Time domain의 특징

먼저, Discrete Time Signal은 어떻게 얻어지는 것인지 생각해보자. 그것은 CT Signal을 sampling하는 것에서부터 출발할 수 있다. 즉, 아래 그림에서 처럼 빨간색으로 표시된 CT Signal을 Sampling Time($T_s$)를 주기로 해당 함수 값을 가져와서 표현하는 것이 파란색으로 표현된 DT Signal이 된다. (Time Axis에서의 파란색 선들 사이의 간격이 Sampling Time $T_s$이다.)

여기서 DT signal만 표현하면 다음과 같다.

이 때, $T_s$ 는 정확히 1이 아니라는 것도 알아야 하는데, 지금은 0에서 10초의 구간을 총 10개로 나누었기 때문에 $T_s=1.1111 \cdots$ 이라고 할 수 있다. 그렇기 때문에 위의 그림은 Continuous Time Domain에서 표현된 Discrete Time Signal이라고 할 수 있다. (이것은 분명히 Discrete Time Domain과는 다른 Domain이다!) 즉, 수식적으로 sampling 된 Continuous Time Signal은 다음과 같이 표현될 수 있다.

정수 n에 대하여,

\[x(nTs)\]

그렇기 때문에, Sampling을 시킨 Continuous Time Signal은 다음과 같은 특징을 갖는다. 그것은 Sampling된 Continuous Time Signal은 최소의 주기가 정해져버린다는 것이다. 즉, CT에서 표현한 DT signal은 $T_s$ 를 최소의 주기로 갖는다. 다른 말로 하면, 주파수 $f$ 는 최대 주파수 $f_s=1/T_s$ 를 갖게 된다.

즉, CT domain에서 표현한 DT Signal은

\[0\leq f\leq \frac{1}{T_s} \space 또는 \space 0 \leq f \leq f_s\]

의 범위에서 주파수의 크기가 한정되게 되는 것이다.

이것을 이제 Discrete Time Domain에 표현하면 다음과 같다.

이제 두 DT signal이 Continuous Time Domain에서 표현된 그래프와 Discrete Time Domain에서 표현한 그래프의 축이 다르다는 것을 알 수 있는데, 이것은 매우 큰 차이를 가져오게 된다. 그것은 DT Domain에서는 n의 순서만을 나타내기 때문이다. 그러므로, DT signal은 sampling 된 CT Signal과 다음과 같은 관계를 갖는다.

\[x[n]=x(nTs)\]

DT domain에서의 n은 통상 bin이라고도 불리며 또는 n을 bin number라고 부르기도 한다. 즉, DT Domain에서는 주파수가 다음과 같은 제한값을 갖게 되는 것이다.

\[0\leq f \leq 1\]

이 성질은 DTFT를 유도할 때, 중요한 개념으로 사용하게 된다.

DTFT의 아이디어

DTFT를 유도해내는 아이디어 역시 CTFT에서와 마찬가지로 주기 N의 크기를 무한대로 크게 만드는 것이다. 만약 N의 크기가 무한대로 커지게 된다면, non-periodic discrete signal을 decompose 할 수 있게 된다.

DTFT의 유도 과정

PROOF. Discrete Time Fourier Transform의 유도 과정

아래와 같은 DTFS의 $x[n]$ 의 수식에 $a_k$ 의 값을 직접 대입해보자.

\[x[n] = \sum_{k=0}^{N-1}{a_k \space exp\left(j \frac{2\pi k}{N}n\right)}\]
where
\[a_k =\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n] exp\left(-j \frac{2\pi k}{N}n\right) \space for \space k = 0, 1, \cdots, N-1\]

그러면 식 (5)에 식 (6)을 대입한 후, N에 대한 극한값을 취해주면(즉, limit을 적용해주면) 다음과 같은 식 (7)을 얻을 수 있다.

\[\lim_{N\rightarrow\infty}x[n] = \lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{k=N_1}^{N_2}\left( \frac{1}{N}\sum_{n=N_1}^{N_2}x[n]exp\left(-j\frac{2\pi n}{N}k\right) \right)exp\left(j\frac{2\pi k}{N}n\right)\]

식 (7)을 재정렬해서 $\frac{1}{N}$ 을 맨 오른쪽으로 옮기면 다음과 같다.

\[\lim_{N\rightarrow\infty}x[n] = \lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{k=N_1}^{N_2}\left( \sum_{n=N_1}^{N_2}x[n]exp\left(-j\frac{2\pi n}{N}k\right) \right)exp\left(j\frac{2\pi k}{N}n \right)\frac{1}{N}\]

여기서 $N_1$과 $N_2$는 $N_2-N_1+1=N$의 관계를 가지는 정수이다.

주기 신호의 특성 상, 주기 신호는 어떤 위치의 점에서 시작하던간에 주기(여기서는 N)만 유지해주면 신호의 형태는 동일하게 유지된다.

또, 식 (7), (8)의 전개과정에서는 $N$ 을 무한히 크게 만드는데 이에 따라 $\frac{1}{N}$ 과 $k/N$ 은 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.

\[as \space N \rightarrow \infty,\space\frac{1}{N}\rightarrow df\space \& \space\frac{k}{N}\rightarrow f\]

식(8)을 전개할 것인데, 이 때 계산의 편의를 위해 괄호 안에 있는 식 $\sum_{n=N_1}^{N_2}x[n]exp\left(-j\frac{2\pi n}{N}k\right)$ 을 먼저 계산하도록 하자.

여기서, $N_2-N_1+1=N$ 라고 할 때, 다음이 성립한다.

\[N_2=N+N_1-1\] \[\Rightarrow N_1=N_2-N+1\] \[\therefore\quad as\quad N\rightarrow\infty,\quad N_1\rightarrow -\infty,\quad N_2 \rightarrow\infty\]

따라서 식 (8)의 괄호안에 있던 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[\lim_{N\rightarrow\infty} \sum_{n=N_1}^{N_2}x[n] exp\left(-j \frac{2\pi n}{N}k\right)\] \[=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]exp(-j2\pi f n) = X_{DTFT}(f)\]

따라서 식(14)를 이용해 식 (8)을 다시 쓰면,

\[\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{k=N_1}^{N_2}X_{DTFT}(f) exp\left(j\frac{2\pi k}{N}n\right)\frac{1}{N}\]

정적분의 정의 및 식(9), 식(12)에 의해 식(15)의 결과는 다음과 같다.

\[\Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}X_{DTFT}(f)exp\left(j 2\pi f n\right) df\]

이 때, 본 post의 위에서 본 것 처럼, $f$ 가 가질 수 있는 최대한의 범위는 [0,1]이다.

따라서 식 (16)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[\Rightarrow \int_{0}^{1}X_{DTFT}(f) exp\left(j 2\pi fn\right)df = x[n]\]

또한, 일반적으로 음의 주파수에 대하여 생각할 수 있으므로 적분 구간을 [0, 1]에서 [-0.5, 0.5]로 옮겨도 무관하다. 그러므로 다음과 같이 DTFT를 표현할 수 있다. :

DEFINITION. 이산 시간 푸리에 변환
이산신호 $x[n]$ 에 대하여,

$$x[n] = \int_{-0.5}^{0.5}X_{DTFT}(f) exp\left(j2\pi fn\right)df$$
where
$$X_{DTFT}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{x[n]exp\left(-j2\pi fn\right)}$$

Q.E.D.


DTFT에서도 CTFT와 마찬가지로 $X_{DTFT}(f)$ 의 수렴조건이 필요하다.

$exp(-j2\pi fn)$ 의 크기가 1이기 때문에 $X_{DTFT}(f)$의 수렴조건은 다음과 같다.

\[|X_{DTFT}(f)| = \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]exp\left(-j2\pi fn\right)\right| \leq \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\right| < \infty\]