행렬식의 성질
크래머 공식을 잘 이해하기 위해선 아래의 몇 가지 행렬식의 성질을 잘 이해하고 하면 좋다.
- 행렬식은 각 열벡터로 구성된 평행사변형의 넓이와 같은 의미를 갖는다.
가령 임의의 행렬
A=[abcd]에 대해 각 열들을 U, V라고 한다면 det(A)=ad−bc는 아래의 평행사변형의 넓이와 같다.
그림 1. 행렬식의 값은 U, V 벡터로 구성된 평행사변형의 넓이와 같다.
따라서, 평행사변형을 구성하는 벡터가 평행이라면 이 평행사변형의 넓이는 무조건 0이 된다.
다른 말로는 행렬 A의 열벡터가 모두 선형독립이 아니라면 평행사변형의 넓이는 0이 되고 역행렬을 가지지 않는 행렬이 된다.
- 행렬 A의 하나의 열이 k배 되면 행렬식의 값도 k배 된다.
다시 말해 행렬식은 아래와 같은 성질을 만족한다.
det([ak⋅bck⋅d])=k⋅det([abcd])이것은 그림 1에서 평행사변형의 변 중 하나가 k배 된 경우를 상상해보면 이해하기 쉽다.
- A1,A2,B1,B2,An 등이 열벡터이고 k1,k2는 스칼라라고 하자. 이 때, []를 이용해 열벡터를 묶은 행렬을 표현할 때, 행렬식은 아래와 같은 결과를 만족한다.
크래머 공식
크래머 공식은 아래와 같은 방정식의 해를 얻을 때 사용할 수 있는 공식이다.
임의의 n×n 사이즈의 행렬 A와 n×1 사이즈의 벡터 b이고 x=[x1,x2,⋯,xn]T라고 할 때,
Ax=b가 성립할 때, 솔루션 x의 각 원소 xi for i=1,2,⋯,n는
xi=det(Arepi)det(A)와 같이 정해진다는 공식이다.
여기서 Arepi는 행렬 A의 i번째 열을 b 벡터로 치환한 행렬이다.
다시 말해 아래와 같은 Ax=b라는 식에서,
Ax=b⟺[a11⋯a1i⋯a1na21⋯a2i⋯a2n⋮⋮⋮an1⋯ani⋯ann][x1x2⋮xn]=[b1b2⋮bn]벡터 x의 i번째 원소 xi는 다음과 같이 정해진다는 것이다.
xi=det(Arepi)det(A)=|a11⋯b1⋯a1na21⋯b2⋯a2n⋮⋮⋮an1⋯bn⋯ann||a11⋯a1i⋯a1na21⋯a2i⋯a2n⋮⋮⋮an1⋯ani⋯ann|공식의 증명
행렬 A는 아래와 같이 n 개의 열벡터를 양 옆으로 쌓아둔 것과 같다고 할 수 있다.
A=[|||A1A2⋯An|||]그리고, A 행렬의 열 notation을 이용해 Ax=b는 다음과 같이도 쓸 수 있다.
A의 각 열을
[|A1|],[|A2|],⋯,[|An|]이라 하고 x의 각 원소를 x1, x2, ⋯, xn이라 할 때,
Ax=x1[|A1|]+x2[|A2|]+⋯+xn[|An|]=b과 같이 쓸 수 있는 것이다.
i 번째 열을 b 벡터로 대체한 행렬을 Arepi라고 부르자. 다시 말해,
Arepi=[||||A1A2⋯b⋯An||||]와 같은 행렬을 생각하는 것이며 이 때 b는 i번째 열에 대입된 것이다.
이것을 표기의 편리함을 위해 아래와 같이 줄여서 쓰도록 하자.
Arepi=[A1,A2,⋯,b,⋯,An]이 표기 역시 i번째 열에 b벡터가 대입된 것이다.
그럼 여기서 Arepi의 행렬식을 계산해보자.
det(Arepi)=det([A1,A2,⋯,b,⋯,An])여기서 b는 x1A1+x2A2+⋯+xnAn과 같으므로,
⇒det([A1,A2,⋯,x1A1+x2A2+⋯+xnAn,⋯,An])행렬식의 성질에 의해,
⇒x1det([A1,A2,⋯,A1,⋯,An])+x2det([A1,A2,⋯,A2,⋯,An])⋮+xndet([A1,A2,⋯,An,⋯,An]) =n∑j=1xjdet([A1,A2,⋯,Aj,⋯,An])행렬을 이루는 열벡터 중 선형독립이 아닌 열벡터가 존재하는 경우 행렬식의 값은 0이다.
따라서, 위 식은 j=i인 경우에만 0이 아니고 나머지 경우는 모두 0이 된다.
그러므로,
⇒xidet([A1,A2,⋯,Ai,⋯,An])그런데 [A1,A2,⋯,Ai,⋯,An] 행렬은 기존의 A 행렬과 동일하므로 위 식은
⇒xidet(A)이다.
따라서, 원래의 식과 비교해보면
det(Arepi)=xidet(A)이므로,
xi=det(Arepi)det(A)임을 알 수 있다.
기하학적 의미
Prerequisites
크래머 공식의 기하학적 의미를 알기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.
- 행렬 곱에 대한 또 다른 시각
- 행렬식의 기하학적 의미
- 평행사변형의 넓이 = 밑변 x 높이
기하학적 해석
크래머 공식의 기하학적 의미는 행렬식이 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같다는 점과 평행사변형의 넓이는 밑변 x 높이로 계산할 수 있다는 사실 두 가지만으로 기하학적 의미를 해석할 수 있다.
아래와 같은 아주 간단한 행렬, 벡터의 곱을 생각해보자.
Ax=b ⇒[abcd][x1x2]=[b1b2]행렬 곱에 대한 또 다른 시각 편에서 열공간을 기반한 해석 파트를 보면 위의 행렬과 벡터의 곱은 다음과 같이도 쓸 수 있는 것이다.
x1[ac]+x2[bd]=[b1b2]이것을 그림으로 표현하면 다음과 같다고 할 수 있다.
그림 1. 식 (18)의 행렬 벡터 곱을 그림으로 표현한 것
이 때, 우리는 세 개의 평행사변형을 관찰해보도록 하자.
첫 번째는 식 (16)의 행렬 A의 각 열 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형이다.
그림 2. 식 (16)의 행렬 A의 열벡터로 구성되는 평행사변형
이 평행사변형의 넓이는 행렬식의 기하학적 의미 편에서 보았던 것 처럼 행렬식의 값으로 표현할 수 있다.
두 번째 볼 평행사변형은 아래와 같이 [b,d]T에 x2를 곱한 벡터와 [a,c]T의 두 열벡터로 구성되는 평행사변형이다.
그림 3. [b,d]T에 x2를 곱한 벡터와 [a,c]T의 두 열벡터로 구성되는 평행사변형
이 평행사변형의 넓이를 계산해보면 다음과 같다는 것을 쉽게 알 수 있다.
det([ax2bcx2d])그림 3에서 관찰하는 이 평행사변형은 그림 2에서 보았던 평행사변형의 넓이에서 x2배 만큼 커진 것으로 볼 수 있다.
혹은 위 식에서 행렬식의 특성에 의해 다음과 같이 쓸 수도 있다.
⇒x2 det([abcd])한편, 세 번째로 관찰해볼 평행사변형은 아래의 그림 4와 같다.
그림 4. [a,c]T 벡터와 [b1,b2]T 벡터로 구성된 평행사변형
그림 4의 평행사변형의 넓이는 행렬식을 이용해 다음과 같이 쓸 수 있다.
det([ab1cb2])그런데 재밌는 점은 그림 3의 평행사변형과 그림 4의 평행사변형의 넓이는 같다. 왜냐면 밑변의 길이는 변화가 없고, 두 평행사변형의 높이도 같기 때문이다.
따라서,
x2 det([abcd])=det([ab1cb2])와 같이 쓸 수 있으므로,
x2=det([ab1cb2])det([abcd])와 같다는 것을 알 수 있다. 이것은 x1에 대해서도 같은 방법으로 확인할 수 있다.
그리고, 마지막으로 이 결과는 크래머 공식과 같다는 것을 알 수 있다.